Theorem xmetrtri 14555

Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancomb 988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
2		xmettri 14551	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
3	1, 2	sylan2b 287	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
4		xmetcl 14531	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5	4	3adant3r2 1215	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
6		xmetcl 14531	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
7	6	3adant3r1 1214	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
8		xmetcl 14531	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9	8	3adant3r3 1216	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
10		xmetge0 14544	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
11	10	3adant3r2 1215	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
12		xmetge0 14544	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
13	12	3adant3r1 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
14		ge0nemnf 9893	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
16		xmetge0 14544	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
17	16	3adant3r3 1216	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18		xlesubadd 9952	. . 3 ⊢ ((((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐶) ∧ (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
19	5, 7, 9, 11, 15, 17, 18	syl33anc 1264	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
20	3, 19	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  0cc0 7874  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   ≤ cle 8057  -_𝑒cxne 9838   +_𝑒 cxad 9839  ∞Metcxmet 14035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-2 9043  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-xmet 14043

This theorem is referenced by: (None)