Theorem zringinvg 14186

Description: The additive inverse of an element of the ring of integers. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringinvg	|- ( A e. ZZ -> -u A = ( ( invg ` ℤring ) ` A ) )

Proof of Theorem zringinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9334	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2	1	negidd 8330	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A + -u A ) = 0 )
3		zringgrp 14177	. . . 4 |- ℤring e. Grp
4		id 19	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
5		znegcl 9360	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> -u A e. ZZ )
6		zringbas 14178	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
7		zringplusg 14179	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℤring )
8		zring0 14182	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
9		eqid 2196	. . . . 5 |- ( invg ` ℤring ) = ( invg ` ℤring )
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13210	. . . 4 |- ( (ℤring e. Grp /\ A e. ZZ /\ -u A e. ZZ ) -> ( ( ( invg ` ℤring ) ` A ) = -u A <-> ( A + -u A ) = 0 ) )
11	3, 4, 5, 10	mp3an2i 1353	. . 3 |- ( A e. ZZ -> ( ( ( invg ` ℤring ) ` A ) = -u A <-> ( A + -u A ) = 0 ) )
12	2, 11	mpbird 167	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( ( invg ` ℤring ) ` A ) = -u A )
13	12	eqcomd 2202	1 |- ( A e. ZZ -> -u A = ( ( invg ` ℤring ) ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   0cc0 7882   + caddc 7885   -ucneg 8201   ZZcz 9329   Grpcgrp 13158   invgcminusg 13159  ℤ_ringczring 14172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-uz 9605  df-rp 9732  df-fz 10087  df-cj 11010  df-abs 11167  df-struct 12691  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-iress 12697  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-starv 12781  df-tset 12785  df-ple 12786  df-ds 12788  df-unif 12789  df-0g 12946  df-topgen 12948  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-grp 13161  df-minusg 13162  df-subg 13326  df-cmn 13442  df-mgp 13503  df-ur 13542  df-ring 13580  df-cring 13581  df-subrg 13801  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-fg 14131  df-metu 14132  df-cnfld 14139  df-zring 14173

This theorem is referenced by: (None)