ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemm GIF version

Theorem cauappcvgprlemm 7106
Description: Lemma for cauappcvgpr 7123. The putative limit is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemm (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemm
StepHypRef Expression
1 fveq2 5252 . . . . . . 7 (𝑝 = 1Q → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1Q))
21breq2d 3823 . . . . . 6 (𝑝 = 1Q → (𝐴 <Q (𝐹𝑝) ↔ 𝐴 <Q (𝐹‘1Q)))
3 cauappcvgpr.bnd . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
4 1nq 6827 . . . . . . 7 1QQ
54a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 1QQ)
62, 3, 5rspcdva 2717 . . . . 5 (𝜑𝐴 <Q (𝐹‘1Q))
7 ltrelnq 6826 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
87brel 4447 . . . . . 6 (𝐴 <Q (𝐹‘1Q) → (𝐴Q ∧ (𝐹‘1Q) ∈ Q))
98simpld 110 . . . . 5 (𝐴 <Q (𝐹‘1Q) → 𝐴Q)
106, 9syl 14 . . . 4 (𝜑𝐴Q)
11 halfnqq 6871 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴)
1210, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴)
13 simplr 497 . . . . . 6 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝑠Q)
143ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
15 fveq2 5252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑠 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑠))
1615breq2d 3823 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑠 → (𝐴 <Q (𝐹𝑝) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1716rspcv 2708 . . . . . . . . . 10 (𝑠Q → (∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1817ad2antlr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → (∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
1914, 18mpd 13 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝐴 <Q (𝐹𝑠))
20 breq1 3814 . . . . . . . . 9 ((𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴 → ((𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
2120adantl 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ((𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠) ↔ 𝐴 <Q (𝐹𝑠)))
2219, 21mpbird 165 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠))
23 oveq2 5598 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑠 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑠))
24 fveq2 5252 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑠 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑠))
2523, 24breq12d 3824 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑠 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠)))
2625rspcev 2712 . . . . . . 7 ((𝑠Q ∧ (𝑠 +Q 𝑠) <Q (𝐹𝑠)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
2713, 22, 26syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
28 oveq1 5597 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
2928breq1d 3821 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3029rexbidv 2375 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
31 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . 9 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
3231fveq2i 5255 . . . . . . . 8 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
33 nqex 6824 . . . . . . . . . 10 Q ∈ V
3433rabex 3948 . . . . . . . . 9 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
3533rabex 3948 . . . . . . . . 9 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
3634, 35op1st 5851 . . . . . . . 8 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
3732, 36eqtri 2103 . . . . . . 7 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
3830, 37elrab2 2762 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3913, 27, 38sylanbrc 408 . . . . 5 (((𝜑𝑠Q) ∧ (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
4039ex 113 . . . 4 ((𝜑𝑠Q) → ((𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴𝑠 ∈ (1st𝐿)))
4140reximdva 2469 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠Q (𝑠 +Q 𝑠) = 𝐴 → ∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿)))
4212, 41mpd 13 . 2 (𝜑 → ∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿))
43 cauappcvgpr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:QQ)
4443, 5ffvelrnd 5379 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1Q) ∈ Q)
45 addclnq 6836 . . . . 5 (((𝐹‘1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
4644, 5, 45syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
47 addclnq 6836 . . . 4 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
4846, 5, 47syl2anc 403 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q)
49 ltaddnq 6868 . . . . . 6 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ 1QQ) → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
5046, 5, 49syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
51 fveq2 5252 . . . . . . . 8 (𝑞 = 1Q → (𝐹𝑞) = (𝐹‘1Q))
52 id 19 . . . . . . . 8 (𝑞 = 1Q𝑞 = 1Q)
5351, 52oveq12d 5608 . . . . . . 7 (𝑞 = 1Q → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹‘1Q) +Q 1Q))
5453breq1d 3821 . . . . . 6 (𝑞 = 1Q → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ↔ ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
5554rspcev 2712 . . . . 5 ((1QQ ∧ ((𝐹‘1Q) +Q 1Q) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)) → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
565, 50, 55syl2anc 403 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q))
57 breq2 3815 . . . . . 6 (𝑢 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
5857rexbidv 2375 . . . . 5 (𝑢 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
5931fveq2i 5255 . . . . . 6 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
6034, 35op2nd 5852 . . . . . 6 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
6159, 60eqtri 2103 . . . . 5 (2nd𝐿) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}
6258, 61elrab2 2762 . . . 4 ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿) ↔ ((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q)))
6348, 56, 62sylanbrc 408 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿))
64 eleq1 2145 . . . 4 (𝑟 = (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) → (𝑟 ∈ (2nd𝐿) ↔ (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿)))
6564rspcev 2712 . . 3 (((((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ Q ∧ (((𝐹‘1Q) +Q 1Q) +Q 1Q) ∈ (2nd𝐿)) → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
6648, 63, 65syl2anc 403 . 2 (𝜑 → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿))
6742, 66jca 300 1 (𝜑 → (∃𝑠Q 𝑠 ∈ (1st𝐿) ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ (2nd𝐿)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357  cop 3425   class class class wbr 3811  wf 4964  cfv 4968  (class class class)co 5590  1st c1st 5843  2nd c2nd 5844  Qcnq 6741  1Qc1q 6742   +Q cplq 6743   <Q cltq 6746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4079  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-irdg 6066  df-1o 6112  df-oadd 6116  df-omul 6117  df-er 6221  df-ec 6223  df-qs 6227  df-ni 6765  df-pli 6766  df-mi 6767  df-lti 6768  df-plpq 6805  df-mpq 6806  df-enq 6808  df-nqqs 6809  df-plqqs 6810  df-mqqs 6811  df-1nqqs 6812  df-rq 6813  df-ltnqqs 6814
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemcl  7114
  Copyright terms: Public domain W3C validator