Theorem ltrelnq 7676

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7664	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4823	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3269	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  {copab 4169   × cxp 4746  (class class class)co 6049  [cec 6764   ·_N cmi 7585   <_N clti 7586   ~_Q ceq 7590  Qcnq 7591   <_Q cltq 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-in 3216  df-ss 3223  df-opab 4171  df-xp 4754  df-ltnqqs 7664

This theorem is referenced by:  ltanqi  7713  ltmnqi  7714  lt2addnq  7715  lt2mulnq  7716  ltexnqi  7720  ltbtwnnqq  7726  ltbtwnnq  7727  prarloclemarch2  7730  ltrnqi  7732  prcdnql  7795  prcunqu  7796  prnmaxl  7799  prnminu  7800  prloc  7802  prarloclemcalc  7813  genplt2i  7821  genpcdl  7830  genpcuu  7831  genpdisj  7834  addnqprllem  7838  addnqprulem  7839  addlocprlemlt  7842  addlocprlemeq  7844  addlocprlemgt  7845  addlocprlem  7846  nqprdisj  7855  nqprloc  7856  nqprxx  7857  ltnqex  7860  gtnqex  7861  addnqprlemrl  7868  addnqprlemru  7869  addnqprlemfl  7870  addnqprlemfu  7871  appdivnq  7874  prmuloclemcalc  7876  prmuloc  7877  mulnqprlemrl  7884  mulnqprlemru  7885  mulnqprlemfl  7886  mulnqprlemfu  7887  1idprl  7901  1idpru  7902  ltnqpri  7905  ltsopr  7907  ltexprlemopl  7912  ltexprlemopu  7914  ltexprlemdisj  7917  ltexprlemloc  7918  ltexprlemfl  7920  ltexprlemru  7923  recexprlemell  7933  recexprlemelu  7934  recexprlemlol  7937  recexprlemupu  7939  recexprlemdisj  7941  recexprlemloc  7942  recexprlempr  7943  recexprlem1ssl  7944  recexprlem1ssu  7945  recexprlemss1l  7946  recexprlemss1u  7947  cauappcvgprlemm  7956  cauappcvgprlemopl  7957  cauappcvgprlemlol  7958  cauappcvgprlemupu  7960  cauappcvgprlemladdfu  7965  cauappcvgprlemladdfl  7966  caucvgprlemk  7976  caucvgprlemnkj  7977  caucvgprlemnbj  7978  caucvgprlemm  7979  caucvgprlemopl  7980  caucvgprlemlol  7981  caucvgprlemupu  7983  caucvgprlemloc  7986  caucvgprlemladdfu  7988  caucvgprprlemloccalc  7995  caucvgprprlemml  8005  caucvgprprlemopl  8008  caucvgprprlemlol  8009  caucvgprprlemupu  8011  caucvgprprlemloc  8014  suplocexprlemrl  8028  suplocexprlemru  8030