Theorem ltrelnq 7327

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7315	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4685	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3179	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  {copab 4049   × cxp 4609  (class class class)co 5853  [cec 6511   ·_N cmi 7236   <_N clti 7237   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-in 3127  df-ss 3134  df-opab 4051  df-xp 4617  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  ltanqi  7364  ltmnqi  7365  lt2addnq  7366  lt2mulnq  7367  ltexnqi  7371  ltbtwnnqq  7377  ltbtwnnq  7378  prarloclemarch2  7381  ltrnqi  7383  prcdnql  7446  prcunqu  7447  prnmaxl  7450  prnminu  7451  prloc  7453  prarloclemcalc  7464  genplt2i  7472  genpcdl  7481  genpcuu  7482  genpdisj  7485  addnqprllem  7489  addnqprulem  7490  addlocprlemlt  7493  addlocprlemeq  7495  addlocprlemgt  7496  addlocprlem  7497  nqprdisj  7506  nqprloc  7507  nqprxx  7508  ltnqex  7511  gtnqex  7512  addnqprlemrl  7519  addnqprlemru  7520  addnqprlemfl  7521  addnqprlemfu  7522  appdivnq  7525  prmuloclemcalc  7527  prmuloc  7528  mulnqprlemrl  7535  mulnqprlemru  7536  mulnqprlemfl  7537  mulnqprlemfu  7538  1idprl  7552  1idpru  7553  ltnqpri  7556  ltsopr  7558  ltexprlemopl  7563  ltexprlemopu  7565  ltexprlemdisj  7568  ltexprlemloc  7569  ltexprlemfl  7571  ltexprlemru  7574  recexprlemell  7584  recexprlemelu  7585  recexprlemlol  7588  recexprlemupu  7590  recexprlemdisj  7592  recexprlemloc  7593  recexprlempr  7594  recexprlem1ssl  7595  recexprlem1ssu  7596  recexprlemss1l  7597  recexprlemss1u  7598  cauappcvgprlemm  7607  cauappcvgprlemopl  7608  cauappcvgprlemlol  7609  cauappcvgprlemupu  7611  cauappcvgprlemladdfu  7616  cauappcvgprlemladdfl  7617  caucvgprlemk  7627  caucvgprlemnkj  7628  caucvgprlemnbj  7629  caucvgprlemm  7630  caucvgprlemopl  7631  caucvgprlemlol  7632  caucvgprlemupu  7634  caucvgprlemloc  7637  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprprlemloccalc  7646  caucvgprprlemml  7656  caucvgprprlemopl  7659  caucvgprprlemlol  7660  caucvgprprlemupu  7662  caucvgprprlemloc  7665  suplocexprlemrl  7679  suplocexprlemru  7681