Theorem ltrelnq 7726

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7714	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4847	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3280	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  {copab 4189   × cxp 4770  (class class class)co 6079  [cec 6799   ·_N cmi 7635   <_N clti 7636   ~_Q ceq 7640  Qcnq 7641   <_Q cltq 7646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-opab 4191  df-xp 4778  df-ltnqqs 7714

This theorem is referenced by:  ltanqi  7763  ltmnqi  7764  lt2addnq  7765  lt2mulnq  7766  ltexnqi  7770  ltbtwnnqq  7776  ltbtwnnq  7777  prarloclemarch2  7780  ltrnqi  7782  prcdnql  7845  prcunqu  7846  prnmaxl  7849  prnminu  7850  prloc  7852  prarloclemcalc  7863  genplt2i  7871  genpcdl  7880  genpcuu  7881  genpdisj  7884  addnqprllem  7888  addnqprulem  7889  addlocprlemlt  7892  addlocprlemeq  7894  addlocprlemgt  7895  addlocprlem  7896  nqprdisj  7905  nqprloc  7906  nqprxx  7907  ltnqex  7910  gtnqex  7911  addnqprlemrl  7918  addnqprlemru  7919  addnqprlemfl  7920  addnqprlemfu  7921  appdivnq  7924  prmuloclemcalc  7926  prmuloc  7927  mulnqprlemrl  7934  mulnqprlemru  7935  mulnqprlemfl  7936  mulnqprlemfu  7937  1idprl  7951  1idpru  7952  ltnqpri  7955  ltsopr  7957  ltexprlemopl  7962  ltexprlemopu  7964  ltexprlemdisj  7967  ltexprlemloc  7968  ltexprlemfl  7970  ltexprlemru  7973  recexprlemell  7983  recexprlemelu  7984  recexprlemlol  7987  recexprlemupu  7989  recexprlemdisj  7991  recexprlemloc  7992  recexprlempr  7993  recexprlem1ssl  7994  recexprlem1ssu  7995  recexprlemss1l  7996  recexprlemss1u  7997  cauappcvgprlemm  8006  cauappcvgprlemopl  8007  cauappcvgprlemlol  8008  cauappcvgprlemupu  8010  cauappcvgprlemladdfu  8015  cauappcvgprlemladdfl  8016  caucvgprlemk  8026  caucvgprlemnkj  8027  caucvgprlemnbj  8028  caucvgprlemm  8029  caucvgprlemopl  8030  caucvgprlemlol  8031  caucvgprlemupu  8033  caucvgprlemloc  8036  caucvgprlemladdfu  8038  caucvgprprlemloccalc  8045  caucvgprprlemml  8055  caucvgprprlemopl  8058  caucvgprprlemlol  8059  caucvgprprlemupu  8061  caucvgprprlemloc  8064  suplocexprlemrl  8078  suplocexprlemru  8080