Theorem ltrelnq 7685

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7673	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4826	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3272	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3213  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  {copab 4172   × cxp 4749  (class class class)co 6052  [cec 6767   ·_N cmi 7594   <_N clti 7595   ~_Q ceq 7599  Qcnq 7600   <_Q cltq 7605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-in 3219  df-ss 3226  df-opab 4174  df-xp 4757  df-ltnqqs 7673

This theorem is referenced by:  ltanqi  7722  ltmnqi  7723  lt2addnq  7724  lt2mulnq  7725  ltexnqi  7729  ltbtwnnqq  7735  ltbtwnnq  7736  prarloclemarch2  7739  ltrnqi  7741  prcdnql  7804  prcunqu  7805  prnmaxl  7808  prnminu  7809  prloc  7811  prarloclemcalc  7822  genplt2i  7830  genpcdl  7839  genpcuu  7840  genpdisj  7843  addnqprllem  7847  addnqprulem  7848  addlocprlemlt  7851  addlocprlemeq  7853  addlocprlemgt  7854  addlocprlem  7855  nqprdisj  7864  nqprloc  7865  nqprxx  7866  ltnqex  7869  gtnqex  7870  addnqprlemrl  7877  addnqprlemru  7878  addnqprlemfl  7879  addnqprlemfu  7880  appdivnq  7883  prmuloclemcalc  7885  prmuloc  7886  mulnqprlemrl  7893  mulnqprlemru  7894  mulnqprlemfl  7895  mulnqprlemfu  7896  1idprl  7910  1idpru  7911  ltnqpri  7914  ltsopr  7916  ltexprlemopl  7921  ltexprlemopu  7923  ltexprlemdisj  7926  ltexprlemloc  7927  ltexprlemfl  7929  ltexprlemru  7932  recexprlemell  7942  recexprlemelu  7943  recexprlemlol  7946  recexprlemupu  7948  recexprlemdisj  7950  recexprlemloc  7951  recexprlempr  7952  recexprlem1ssl  7953  recexprlem1ssu  7954  recexprlemss1l  7955  recexprlemss1u  7956  cauappcvgprlemm  7965  cauappcvgprlemopl  7966  cauappcvgprlemlol  7967  cauappcvgprlemupu  7969  cauappcvgprlemladdfu  7974  cauappcvgprlemladdfl  7975  caucvgprlemk  7985  caucvgprlemnkj  7986  caucvgprlemnbj  7987  caucvgprlemm  7988  caucvgprlemopl  7989  caucvgprlemlol  7990  caucvgprlemupu  7992  caucvgprlemloc  7995  caucvgprlemladdfu  7997  caucvgprprlemloccalc  8004  caucvgprprlemml  8014  caucvgprprlemopl  8017  caucvgprprlemlol  8018  caucvgprprlemupu  8020  caucvgprprlemloc  8023  suplocexprlemrl  8037  suplocexprlemru  8039