Theorem ltrelnq 7306

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelnq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltnqqs 7294	. 2 ⊢ <Q = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))}
2		opabssxp 4678	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ∧ 𝑦 = [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q ) ∧ (𝑧 ·N 𝑢) <N (𝑤 ·N 𝑣)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstri 3174	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  {copab 4042   × cxp 4602  (class class class)co 5842  [cec 6499   ·_N cmi 7215   <_N clti 7216   ~_Q ceq 7220  Qcnq 7221   <_Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-in 3122  df-ss 3129  df-opab 4044  df-xp 4610  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  ltanqi  7343  ltmnqi  7344  lt2addnq  7345  lt2mulnq  7346  ltexnqi  7350  ltbtwnnqq  7356  ltbtwnnq  7357  prarloclemarch2  7360  ltrnqi  7362  prcdnql  7425  prcunqu  7426  prnmaxl  7429  prnminu  7430  prloc  7432  prarloclemcalc  7443  genplt2i  7451  genpcdl  7460  genpcuu  7461  genpdisj  7464  addnqprllem  7468  addnqprulem  7469  addlocprlemlt  7472  addlocprlemeq  7474  addlocprlemgt  7475  addlocprlem  7476  nqprdisj  7485  nqprloc  7486  nqprxx  7487  ltnqex  7490  gtnqex  7491  addnqprlemrl  7498  addnqprlemru  7499  addnqprlemfl  7500  addnqprlemfu  7501  appdivnq  7504  prmuloclemcalc  7506  prmuloc  7507  mulnqprlemrl  7514  mulnqprlemru  7515  mulnqprlemfl  7516  mulnqprlemfu  7517  1idprl  7531  1idpru  7532  ltnqpri  7535  ltsopr  7537  ltexprlemopl  7542  ltexprlemopu  7544  ltexprlemdisj  7547  ltexprlemloc  7548  ltexprlemfl  7550  ltexprlemru  7553  recexprlemell  7563  recexprlemelu  7564  recexprlemlol  7567  recexprlemupu  7569  recexprlemdisj  7571  recexprlemloc  7572  recexprlempr  7573  recexprlem1ssl  7574  recexprlem1ssu  7575  recexprlemss1l  7576  recexprlemss1u  7577  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemopl  7587  cauappcvgprlemlol  7588  cauappcvgprlemupu  7590  cauappcvgprlemladdfu  7595  cauappcvgprlemladdfl  7596  caucvgprlemk  7606  caucvgprlemnkj  7607  caucvgprlemnbj  7608  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemopl  7610  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemupu  7613  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemupu  7641  caucvgprprlemloc  7644  suplocexprlemrl  7658  suplocexprlemru  7660