Theorem max0addsup 12009

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
max0addsup	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8333	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		maxabs 11999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
3	1, 2	mpan2 429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4		recn 8319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addridd 8483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	4	subid1d 8634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
8	5, 7	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
9	8	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
10	3, 9	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11		renegcl 8595	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12		maxabs 11999	. . . . . 6 ⊢ (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((( -𝐴 + 0) + (abs‘( -𝐴 − 0))) / 2))
13	11, 1, 12	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((( -𝐴 + 0) + (abs‘( -𝐴 − 0))) / 2))
14	11	recnd 8361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	addridd 8483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 + 0) = -𝐴)
16	14	subid1d 8634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 − 0) = -𝐴)
17	16	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘( -𝐴 − 0)) = (abs‘ -𝐴))
18	4	absnegd 11979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘ -𝐴) = (abs‘𝐴))
19	17, 18	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘( -𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
20	15, 19	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (( -𝐴 + 0) + (abs‘( -𝐴 − 0))) = ( -𝐴 + (abs‘𝐴)))
21	20	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((( -𝐴 + 0) + (abs‘( -𝐴 − 0))) / 2) = (( -𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
22	13, 21	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < ) = (( -𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
23	10, 22	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + (( -𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
24	4	abscld 11971	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 8361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
26	4, 25	addcld 8352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
27	14, 25	addcld 8352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28		2cnd 9387	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 9407	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
31	26, 27, 28, 30	divdirapd 9168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + ( -𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + (( -𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
32	4, 25, 14, 25	add4d 8503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + ( -𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
33	4	negidd 8635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
34	33	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
35	25, 25	addcld 8352	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	35	addlidd 8484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
37	32, 34, 36	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + ( -𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
38	37	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + ( -𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
39	23, 31, 38	3eqtr2d 2277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40	25	2timesd 9560	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
41	40	oveq1d 6103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
42	25, 28, 30	divcanap3d 9134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
43	39, 41, 42	3eqtr2d 2277	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({ -𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  supcsup 7329  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   -cneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011  2c2 9365  abscabs 11786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by: (None)