Theorem max0addsup 11781

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
max0addsup	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8179	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		maxabs 11771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4		recn 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addridd 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	4	subid1d 8479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
8	5, 7	oveq12d 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
9	8	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
10	3, 9	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11		renegcl 8440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12		maxabs 11771	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
13	11, 1, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
14	11	recnd 8208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	addridd 8328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + 0) = -𝐴)
16	14	subid1d 8479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 − 0) = -𝐴)
17	16	fveq2d 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘-𝐴))
18	4	absnegd 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
19	17, 18	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
20	15, 19	oveq12d 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) = (-𝐴 + (abs‘𝐴)))
21	20	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
22	13, 21	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
23	10, 22	oveq12d 6036	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
24	4	abscld 11743	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
26	4, 25	addcld 8199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
27	14, 25	addcld 8199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28		2cnd 9216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 9236	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
31	26, 27, 28, 30	divdirapd 9009	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
32	4, 25, 14, 25	add4d 8348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
33	4	negidd 8480	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
34	33	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
35	25, 25	addcld 8199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	35	addlidd 8329	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
37	32, 34, 36	3eqtrd 2268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
38	37	oveq1d 6033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
39	23, 31, 38	3eqtr2d 2270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40	25	2timesd 9387	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
41	40	oveq1d 6033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
42	25, 28, 30	divcanap3d 8975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
43	39, 41, 42	3eqtr2d 2270	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  supcsup 7181  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214   − cmin 8350  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852  2c2 9194  abscabs 11559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561

This theorem is referenced by: (None)