ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  max0addsup GIF version

Theorem max0addsup 10493
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
max0addsup (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup
StepHypRef Expression
1 0re 7409 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 maxabs 10483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
31, 2mpan2 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4 recn 7396 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54addid1d 7552 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
64subid1d 7703 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
76fveq2d 5260 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
85, 7oveq12d 5612 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
98oveq1d 5609 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
103, 9eqtrd 2117 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11 renegcl 7664 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12 maxabs 10483 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
1311, 1, 12sylancl 404 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
1411recnd 7437 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
1514addid1d 7552 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + 0) = -𝐴)
1614subid1d 7703 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 − 0) = -𝐴)
1716fveq2d 5260 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘-𝐴))
184absnegd 10463 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
1917, 18eqtrd 2117 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
2015, 19oveq12d 5612 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) = (-𝐴 + (abs‘𝐴)))
2120oveq1d 5609 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
2213, 21eqtrd 2117 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
2310, 22oveq12d 5612 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
244abscld 10455 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 7437 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
264, 25addcld 7428 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
2714, 25addcld 7428 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28 2cnd 8407 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29 2ap0 8427 . . . . 5 2 # 0
3029a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
3126, 27, 28, 30divdirapd 8210 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
324, 25, 14, 25add4d 7572 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
334negidd 7704 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3433oveq1d 5609 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
3525, 25addcld 7428 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
3635addid2d 7553 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
3732, 34, 363eqtrd 2121 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
3837oveq1d 5609 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
3923, 31, 383eqtr2d 2123 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40252timesd 8568 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
4140oveq1d 5609 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
4225, 28, 30divcanap3d 8177 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
4339, 41, 423eqtr2d 2123 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  {cpr 3426   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  supcsup 6598  cr 7270  0cc0 7271   + caddc 7274   · cmul 7276   < clt 7443  cmin 7574  -cneg 7575   # cap 7976   / cdiv 8055  2c2 8384  abscabs 10271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-rp 9044  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator