ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  max0addsup GIF version

Theorem max0addsup 11183
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
max0addsup (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup
StepHypRef Expression
1 0re 7920 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 maxabs 11173 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
31, 2mpan2 423 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4 recn 7907 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54addid1d 8068 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
64subid1d 8219 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
76fveq2d 5500 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
85, 7oveq12d 5871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
98oveq1d 5868 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
103, 9eqtrd 2203 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11 renegcl 8180 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12 maxabs 11173 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
1311, 1, 12sylancl 411 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
1411recnd 7948 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
1514addid1d 8068 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + 0) = -𝐴)
1614subid1d 8219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 − 0) = -𝐴)
1716fveq2d 5500 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘-𝐴))
184absnegd 11153 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
1917, 18eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
2015, 19oveq12d 5871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) = (-𝐴 + (abs‘𝐴)))
2120oveq1d 5868 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
2213, 21eqtrd 2203 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
2310, 22oveq12d 5871 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
244abscld 11145 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 7948 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
264, 25addcld 7939 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
2714, 25addcld 7939 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28 2cnd 8951 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29 2ap0 8971 . . . . 5 2 # 0
3029a1i 9 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
3126, 27, 28, 30divdirapd 8746 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
324, 25, 14, 25add4d 8088 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
334negidd 8220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3433oveq1d 5868 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
3525, 25addcld 7939 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
3635addid2d 8069 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
3732, 34, 363eqtrd 2207 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
3837oveq1d 5868 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
3923, 31, 383eqtr2d 2209 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40252timesd 9120 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
4140oveq1d 5868 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
4225, 28, 30divcanap3d 8712 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
4339, 41, 423eqtr2d 2209 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  {cpr 3584   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  supcsup 6959  cr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cmin 8090  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  abscabs 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator