Theorem max0addsup 11574

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
max0addsup	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8079	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		maxabs 11564	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4		recn 8065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addridd 8228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	4	subid1d 8379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
8	5, 7	oveq12d 5969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
9	8	oveq1d 5966	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
10	3, 9	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11		renegcl 8340	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12		maxabs 11564	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
13	11, 1, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
14	11	recnd 8108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	addridd 8228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + 0) = -𝐴)
16	14	subid1d 8379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 − 0) = -𝐴)
17	16	fveq2d 5587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘-𝐴))
18	4	absnegd 11544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
19	17, 18	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
20	15, 19	oveq12d 5969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) = (-𝐴 + (abs‘𝐴)))
21	20	oveq1d 5966	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
22	13, 21	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
23	10, 22	oveq12d 5969	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
24	4	abscld 11536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 8108	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
26	4, 25	addcld 8099	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
27	14, 25	addcld 8099	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28		2cnd 9116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 9136	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
31	26, 27, 28, 30	divdirapd 8909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
32	4, 25, 14, 25	add4d 8248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
33	4	negidd 8380	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
34	33	oveq1d 5966	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
35	25, 25	addcld 8099	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	35	addlidd 8229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
37	32, 34, 36	3eqtrd 2243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
38	37	oveq1d 5966	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
39	23, 31, 38	3eqtr2d 2245	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40	25	2timesd 9287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
41	40	oveq1d 5966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
42	25, 28, 30	divcanap3d 8875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
43	39, 41, 42	3eqtr2d 2245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3635   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  supcsup 7091  ℝcr 7931  0cc0 7932   + caddc 7935   · cmul 7937   < clt 8114   − cmin 8250  -cneg 8251   # cap 8661   / cdiv 8752  2c2 9094  abscabs 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354

This theorem is referenced by: (None)