Theorem max0addsup 10984

Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
max0addsup	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem max0addsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7759	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		maxabs 10974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
3	1, 2	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2))
4		recn 7746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 7904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
6	4	subid1d 8055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
7	6	fveq2d 5418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
8	5, 7	oveq12d 5785	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) = (𝐴 + (abs‘𝐴)))
9	8	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + 0) + (abs‘(𝐴 − 0))) / 2) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
10	3, 9	eqtrd 2170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
11		renegcl 8016	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
12		maxabs 10974	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
13	11, 1, 12	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2))
14	11	recnd 7787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
15	14	addid1d 7904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + 0) = -𝐴)
16	14	subid1d 8055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 − 0) = -𝐴)
17	16	fveq2d 5418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘-𝐴))
18	4	absnegd 10954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
19	17, 18	eqtrd 2170	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(-𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
20	15, 19	oveq12d 5785	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) = (-𝐴 + (abs‘𝐴)))
21	20	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-𝐴 + 0) + (abs‘(-𝐴 − 0))) / 2) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
22	13, 21	eqtrd 2170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({-𝐴, 0}, ℝ, < ) = ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2))
23	10, 22	oveq12d 5785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
24	4	abscld 10946	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
25	24	recnd 7787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
26	4, 25	addcld 7778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
27	14, 25	addcld 7778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
28		2cnd 8786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 8806	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 2 # 0)
31	26, 27, 28, 30	divdirapd 8582	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2) + ((-𝐴 + (abs‘𝐴)) / 2)))
32	4, 25, 14, 25	add4d 7924	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
33	4	negidd 8056	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
34	33	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + -𝐴) + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))))
35	25, 25	addcld 7778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	35	addid2d 7905	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 + ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
37	32, 34, 36	3eqtrd 2174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
38	37	oveq1d 5782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((𝐴 + (abs‘𝐴)) + (-𝐴 + (abs‘𝐴))) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
39	23, 31, 38	3eqtr2d 2176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
40	25	2timesd 8955	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
41	40	oveq1d 5782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)) / 2))
42	25, 28, 30	divcanap3d 8548	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
43	39, 41, 42	3eqtr2d 2176	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) + sup({-𝐴, 0}, ℝ, < )) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3523   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  supcsup 6862  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   − cmin 7926  -cneg 7927   # cap 8336   / cdiv 8425  2c2 8764  abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by: (None)