ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  max0addsup GIF version

Theorem max0addsup 11230
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
max0addsup (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (sup({๐ด, 0}, โ„, < ) + sup({-๐ด, 0}, โ„, < )) = (absโ€˜๐ด))

Proof of Theorem max0addsup
StepHypRef Expression
1 0re 7959 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
2 maxabs 11220 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, 0}, โ„, < ) = (((๐ด + 0) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0))) / 2))
31, 2mpan2 425 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐ด, 0}, โ„, < ) = (((๐ด + 0) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0))) / 2))
4 recn 7946 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54addid1d 8108 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
64subid1d 8259 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
76fveq2d 5521 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) = (absโ€˜๐ด))
85, 7oveq12d 5895 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด + 0) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0))) = (๐ด + (absโ€˜๐ด)))
98oveq1d 5892 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด + 0) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0))) / 2) = ((๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2))
103, 9eqtrd 2210 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ sup({๐ด, 0}, โ„, < ) = ((๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2))
11 renegcl 8220 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
12 maxabs 11220 . . . . . 6 ((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ sup({-๐ด, 0}, โ„, < ) = (((-๐ด + 0) + (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0))) / 2))
1311, 1, 12sylancl 413 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ sup({-๐ด, 0}, โ„, < ) = (((-๐ด + 0) + (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0))) / 2))
1411recnd 7988 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1514addid1d 8108 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-๐ด + 0) = -๐ด)
1614subid1d 8259 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-๐ด โˆ’ 0) = -๐ด)
1716fveq2d 5521 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0)) = (absโ€˜-๐ด))
184absnegd 11200 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜-๐ด) = (absโ€˜๐ด))
1917, 18eqtrd 2210 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0)) = (absโ€˜๐ด))
2015, 19oveq12d 5895 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((-๐ด + 0) + (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0))) = (-๐ด + (absโ€˜๐ด)))
2120oveq1d 5892 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (((-๐ด + 0) + (absโ€˜(-๐ด โˆ’ 0))) / 2) = ((-๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2))
2213, 21eqtrd 2210 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ sup({-๐ด, 0}, โ„, < ) = ((-๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2))
2310, 22oveq12d 5895 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (sup({๐ด, 0}, โ„, < ) + sup({-๐ด, 0}, โ„, < )) = (((๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2) + ((-๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2)))
244abscld 11192 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2524recnd 7988 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
264, 25addcld 7979 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2714, 25addcld 7979 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (-๐ด + (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
28 2cnd 8994 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
29 2ap0 9014 . . . . 5 2 # 0
3029a1i 9 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 2 # 0)
3126, 27, 28, 30divdirapd 8788 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด + (absโ€˜๐ด)) + (-๐ด + (absโ€˜๐ด))) / 2) = (((๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2) + ((-๐ด + (absโ€˜๐ด)) / 2)))
324, 25, 14, 25add4d 8128 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด + (absโ€˜๐ด)) + (-๐ด + (absโ€˜๐ด))) = ((๐ด + -๐ด) + ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด))))
334negidd 8260 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + -๐ด) = 0)
3433oveq1d 5892 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด + -๐ด) + ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด))) = (0 + ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด))))
3525, 25addcld 7979 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3635addid2d 8109 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 + ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด))) = ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)))
3732, 34, 363eqtrd 2214 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด + (absโ€˜๐ด)) + (-๐ด + (absโ€˜๐ด))) = ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)))
3837oveq1d 5892 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ด + (absโ€˜๐ด)) + (-๐ด + (absโ€˜๐ด))) / 2) = (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)) / 2))
3923, 31, 383eqtr2d 2216 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (sup({๐ด, 0}, โ„, < ) + sup({-๐ด, 0}, โ„, < )) = (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)) / 2))
40252timesd 9163 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) = ((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)))
4140oveq1d 5892 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) / 2) = (((absโ€˜๐ด) + (absโ€˜๐ด)) / 2))
4225, 28, 30divcanap3d 8754 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) / 2) = (absโ€˜๐ด))
4339, 41, 423eqtr2d 2216 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (sup({๐ด, 0}, โ„, < ) + sup({-๐ด, 0}, โ„, < )) = (absโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cpr 3595   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  supcsup 6983  โ„cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โˆ’ cmin 8130  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  2c2 8972  abscabs 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator