Theorem amgm2 11867

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
amgm2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9358	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		simpll 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simprl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 8301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulge0 8941	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		resqrtcl 11778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10		sqmul 11021	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
11	1, 9, 10	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
12		sq2 11055	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
13	12	oveq1i 6089	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2))
14		resqrtth 11780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
15	5, 6, 14	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
17	13, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
18	11, 17	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
19	2, 3	resubcld 8702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	sqge0d 11121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵)↑2))
21	2	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	3	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
23		binom2 11071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
24	21, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
25		binom2sub 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
26	21, 22, 25	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
27	24, 26	oveq12d 6097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
28	2	resqcld 11120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
29		2re 9357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		remulcl 8301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 5, 30	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	readdcld 8349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
34	28, 31	resubcld 8702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
35	34	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
36	3	resqcld 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
37	36	recnd 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38	33, 35, 37	pnpcan2d 8669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))))
39	31	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
40	39	2timesd 9531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
41		2t2e4 9442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41	oveq1i 6089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
43		2cnd 9360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
44	5	recnd 8348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
45	43, 43, 44	mulassd 8343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
46	42, 45	eqtr3id 2285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
47	28	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
48	47, 39, 39	pnncand 8670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
49	40, 46, 48	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
50	27, 38, 49	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
51	2, 3	readdcld 8349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
54	19	resqcld 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
55	54	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
56		4re 9364	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		remulcl 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
58	56, 5, 57	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
59	58	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
60		subsub23 8525	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
61	53, 55, 59, 60	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
62	50, 61	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
63	20, 62	breqtrrd 4156	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))))
64	52, 58	subge0d 8857	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) ↔ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
65	63, 64	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
66	18, 65	eqbrtrd 4150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
67		remulcl 8301	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
68	29, 8, 67	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
69		sqrtge0 11782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
70	5, 6, 69	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
71		0le2 9377	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
72		mulge0 8941	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
73	29, 71, 72	mpanl12 440	. . . . 5 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
74	8, 70, 73	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
75		addge0 8773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
76	75	an4s 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
77	68, 51, 74, 76	le2sqd 11126	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
78	66, 77	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵))
79		2pos 9378	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
80	29, 79	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
81	80	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
82		lemuldiv2 9206	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
83	8, 51, 81, 82	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
84	78, 83	mpbid 147	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491   / cdiv 8996  2c2 9338  4c4 9340  ↑cexp 10958  √csqrt 11745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-rsqrt 11747

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