ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  amgm2 GIF version

Theorem amgm2 11126
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for ๐‘› = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
amgm2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))

Proof of Theorem amgm2
StepHypRef Expression
1 2cn 8989 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
2 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 remulcl 7938 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 mulge0 8575 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
7 resqrtcl 11037 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
98recnd 7985 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10 sqmul 10581 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
111, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)))
12 sq2 10615 . . . . . . 7 (2โ†‘2) = 4
1312oveq1i 5884 . . . . . 6 ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2))
14 resqrtth 11039 . . . . . . . 8 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
155, 6, 14syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2) = (๐ด ยท ๐ต))
1615oveq2d 5890 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1713, 16eqtrid 2222 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2โ†‘2) ยท ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
1811, 17eqtrd 2210 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
192, 3resubcld 8337 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
2019sqge0d 10680 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
212recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
223recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
23 binom2 10631 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
25 binom2sub 10633 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2621, 22, 25syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
2724, 26oveq12d 5892 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))))
282resqcld 10679 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
29 2re 8988 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
30 remulcl 7938 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3129, 5, 30sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
3228, 31readdcld 7986 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3332recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
3428, 31resubcld 8337 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3534recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
363resqcld 10679 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
3736recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3833, 35, 37pnpcan2d 8305 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) โˆ’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))))
3931recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
40392timesd 9160 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
41 2t2e4 9072 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
4241oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))
43 2cnd 8991 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
445recnd 7985 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4543, 43, 44mulassd 7980 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4642, 45eqtr3id 2224 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (2 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4728recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4847, 39, 39pnncand 8306 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
4940, 46, 483eqtr4rd 2221 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)))) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
5027, 38, 493eqtrd 2214 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)))
512, 3readdcld 7986 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
5251resqcld 10679 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5352recnd 7985 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
5419resqcld 10679 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„)
5554recnd 7985 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
56 4re 8995 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
57 remulcl 7938 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5856, 5, 57sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
5958recnd 7985 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
60 subsub23 8161 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6153, 55, 59, 60syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)) = (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ†” (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2)))
6250, 61mpbid 147 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)โ†‘2))
6320, 62breqtrrd 4031 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
6452, 58subge0d 8491 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (0 โ‰ค (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โ†” (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
6563, 64mpbid 147 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
6618, 65eqbrtrd 4025 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2))
67 remulcl 7938 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
6829, 8, 67sylancr 414 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
69 sqrtge0 11041 . . . . . 6 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
705, 6, 69syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))
71 0le2 9008 . . . . . 6 0 โ‰ค 2
72 mulge0 8575 . . . . . 6 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โˆง ((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
7329, 71, 72mpanl12 436 . . . . 5 (((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
748, 70, 73syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))))
75 addge0 8407 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7675an4s 588 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
7768, 51, 74, 76le2sqd 10685 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)))โ†‘2) โ‰ค ((๐ด + ๐ต)โ†‘2)))
7866, 77mpbird 167 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต))
79 2pos 9009 . . . . 5 0 < 2
8029, 79pm3.2i 272 . . . 4 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
8180a1i 9 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
82 lemuldiv2 8838 . . 3 (((โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2)))
838, 51, 81, 82syl3anc 1238 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((2 ยท (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต))) โ‰ค (๐ด + ๐ต) โ†” (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2)))
8478, 83mpbid 147 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (โˆšโ€˜(๐ด ยท ๐ต)) โ‰ค ((๐ด + ๐ต) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  2c2 8969  4c4 8971  โ†‘cexp 10518  โˆšcsqrt 11004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-rsqrt 11006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator