Theorem amgm2 11141

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
amgm2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9004	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		remulcl 7953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		mulge0 8590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7		resqrtcl 11052	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8000	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10		sqmul 10596	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
11	1, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)))
12		sq2 10630	. . . . . . 7 ⊢ (2↑2) = 4
13	12	oveq1i 5898	. . . . . 6 ⊢ ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2))
14		resqrtth 11054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
15	5, 6, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2) = (𝐴 · 𝐵))
16	15	oveq2d 5904	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
17	13, 16	eqtrid 2232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2↑2) · ((√‘(𝐴 · 𝐵))↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
18	11, 17	eqtrd 2220	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
19	2, 3	resubcld 8352	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	sqge0d 10695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ ((𝐴 − 𝐵)↑2))
21	2	recnd 8000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	3	recnd 8000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
23		binom2 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
25		binom2sub 10648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
26	21, 22, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
27	24, 26	oveq12d 5906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))))
28	2	resqcld 10694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
29		2re 9003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		remulcl 7953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
31	29, 5, 30	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
32	28, 31	readdcld 8001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
33	32	recnd 8000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
34	28, 31	resubcld 8352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
35	34	recnd 8000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
36	3	resqcld 10694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
37	36	recnd 8000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
38	33, 35, 37	pnpcan2d 8320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))))
39	31	recnd 8000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
40	39	2timesd 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
41		2t2e4 9087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 2) = 4
42	41	oveq1i 5898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (4 · (𝐴 · 𝐵))
43		2cnd 9006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
44	5	recnd 8000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
45	43, 43, 44	mulassd 7995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
46	42, 45	eqtr3id 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
47	28	recnd 8000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
48	47, 39, 39	pnncand 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) + (2 · (𝐴 · 𝐵))))
49	40, 46, 48	3eqtr4rd 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐵)))) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
50	27, 38, 49	3eqtrd 2224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)))
51	2, 3	readdcld 8001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
52	51	resqcld 10694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
54	19	resqcld 10694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
55	54	recnd 8000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
56		4re 9010	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
57		remulcl 7953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
58	56, 5, 57	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ)
59	58	recnd 8000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
60		subsub23 8176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
61	53, 55, 59, 60	syl3anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) − ((𝐴 − 𝐵)↑2)) = (4 · (𝐴 · 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2)))
62	50, 61	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 − 𝐵)↑2))
63	20, 62	breqtrrd 4043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))))
64	52, 58	subge0d 8506	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (0 ≤ (((𝐴 + 𝐵)↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐵))) ↔ (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
65	63, 64	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (4 · (𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
66	18, 65	eqbrtrd 4037	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2))
67		remulcl 7953	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
68	29, 8, 67	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ∈ ℝ)
69		sqrtge0 11056	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
70	5, 6, 69	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))
71		0le2 9023	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
72		mulge0 8590	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵)))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
73	29, 71, 72	mpanl12 436	. . . . 5 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘(𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
74	8, 70, 73	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))))
75		addge0 8422	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
76	75	an4s 588	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
77	68, 51, 74, 76	le2sqd 10700	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵)))↑2) ≤ ((𝐴 + 𝐵)↑2)))
78	66, 77	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵))
79		2pos 9024	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
80	29, 79	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
81	80	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
82		lemuldiv2 8853	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
83	8, 51, 81, 82	syl3anc 1248	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((2 · (√‘(𝐴 · 𝐵))) ≤ (𝐴 + 𝐵) ↔ (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
84	78, 83	mpbid 147	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (√‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  0cc0 7825   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006   ≤ cle 8007   − cmin 8142   / cdiv 8643  2c2 8984  4c4 8986  ↑cexp 10533  √csqrt 11019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-rsqrt 11021

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