Theorem difsqpwdvds 12972

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difsqpwdvds	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 9455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		subsq 10952	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2243	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
9		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10		nn0z 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nn0z 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
12	10, 11	anim12i 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		zaddcl 9562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	14	3adant3 1044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16		nn0re 9454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		1red 8237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19		nn0re 9454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	20, 22, 18	3jca 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24		difgtsumgt 9592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
26	21, 25	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27	26	3impia 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28		eluz2b1 9878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
31		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
32	9, 30, 31	3jca 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
33	32	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34		zsubcl 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35	13, 34	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
37	36	3adant3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
38		dvdsmul1 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
40	39	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
41		breq2 4097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
43	40, 42	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
44		dvdsprmpweqnn 12970	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚)))
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚))
46		prmz 12744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47		iddvdsexp 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
48	46, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
49		breq2 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚)))
50	48, 49	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
51	50	rexlimdva 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
52	51	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
53	52	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
54	53	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
56	55	3adant3 1044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
57	21	biimp3a 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 𝐵))
58		eluz2b1 9878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
59	56, 57, 58	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
61	9, 60, 31	3jca 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
62	61	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63		dvdsmul2 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
65	64	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
66		breq2 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
67	66	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
68	65, 67	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
69		dvdsprmpweqnn 12970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛)))
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛))
71		iddvdsexp 12437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
72	46, 71	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
73		breq2 4097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛)))
74	72, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
75	74	rexlimdva 2651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
78	77	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
79	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
80	37, 79	anim12ci 339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
81		3anass 1009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
82	80, 81	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
83		dvds2sub 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
85	1	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	2	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87	85, 86, 86	pnncand 8572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
88	2	2timesd 9430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
89	88	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90	89	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
91	87, 90	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
92	91	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
93	92	biimpd 144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
96	95	expcomd 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
97	96	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
100	54, 99	syld 45	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
101	45, 100	mpd 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102	101	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
103	8, 102	sylbid 150	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8257   − cmin 8393  ℕcn 9186  2c2 9237  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ↑cexp 10844   ∥ cdvds 12409  ℙcprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-xnn0 9509  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741  df-pc 12919

This theorem is referenced by: (None)