Theorem difsqpwdvds 12246

Description: If the difference of two squares is a power of a prime, the prime divides twice the second squared number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difsqpwdvds	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Proof of Theorem difsqpwdvds

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 9115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 9115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1006	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		subsq 10551	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
7	6	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
8	7	eqeq2d 2176	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) ↔ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
9		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℙ)
10		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
11		nn0z 9202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
12	10, 11	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		zaddcl 9222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	14	3adant3 1006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16		nn0re 9114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		1red 7905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
19		nn0re 9114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	17, 18, 20	ltaddsub2d 8435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
22		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	20, 22, 18	3jca 1166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ))
24		difgtsumgt 9251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (1 < (𝐴 − 𝐵) → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
26	21, 25	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 1) < 𝐴 → 1 < (𝐴 + 𝐵)))
27	26	3impia 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 + 𝐵))
28		eluz2b1 9530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 + 𝐵)))
29	15, 27, 28	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
31		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
32	9, 30, 31	3jca 1166	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
33	32	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
34		zsubcl 9223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35	13, 34	jca 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
36	12, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
37	36	3adant3 1006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
38		dvdsmul1 11739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
39	37, 38	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
40	39	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
41		breq2 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
42	41	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
43	40, 42	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
44		dvdsprmpweqnn 12244	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚)))
45	33, 43, 44	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚))
46		prmz 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → 𝐶 ∈ ℤ)
47		iddvdsexp 11741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
48	46, 47	sylan 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚))
49		breq2 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑚)))
50	48, 49	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
51	50	rexlimdva 2581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
52	51	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
53	52	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
54	53	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵)))
55	12, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
56	55	3adant3 1006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
57	21	biimp3a 1334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 𝐵))
58		eluz2b1 9530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴 − 𝐵)))
59	56, 57, 58	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
60	59	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2))
61	9, 60, 31	3jca 1166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
62	61	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0))
63		dvdsmul2 11740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
64	37, 63	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
65	64	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)))
66		breq2 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
67	66	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∥ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))))
68	65, 67	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷))
69		dvdsprmpweqnn 12244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 𝐵) ∥ (𝐶↑𝐷) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛)))
70	62, 68, 69	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛))
71		iddvdsexp 11741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
72	46, 71	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛))
73		breq2 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 ∥ (𝐶↑𝑛)))
74	72, 73	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
75	74	rexlimdva 2581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
76	75	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
77	76	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
78	77	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
79	46	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℤ)
80	37, 79	anim12ci 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
81		3anass 971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)))
82	80, 81	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
83		dvds2sub 11752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵))))
85	1	3ad2ant1 1007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
86	2	3ad2ant2 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
87	85, 86, 86	pnncand 8239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
88	2	2timesd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
89	88	eqcomd 2170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
90	89	3ad2ant2 1008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐵 + 𝐵) = (2 · 𝐵))
91	87, 90	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (2 · 𝐵))
92	91	breq2d 3988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
93	92	biimpd 143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
94	93	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
95	84, 94	syld 45	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) ∧ 𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
96	95	expcomd 1428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
97	96	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 − 𝐵) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
98	78, 97	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶↑𝑛) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))))
99	70, 98	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 ∥ (𝐴 + 𝐵) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
100	54, 99	syld 45	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶↑𝑚) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
101	45, 100	mpd 13	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵))
102	101	ex 114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))
103	8, 102	sylbid 149	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℙ ∧ 𝐷 ∈ ℕ0)) → ((𝐶↑𝐷) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) → 𝐶 ∥ (2 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  ℝcr 7743  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924   − cmin 8060  ℕcn 8848  2c2 8899  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457  ↑cexp 10444   ∥ cdvds 11713  ℙcprime 12018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-xnn0 9169  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861  df-prm 12019  df-pc 12194

This theorem is referenced by: (None)