Theorem bl2in 12386

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 965	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 12338	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simpl2 966	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		simpl3 967	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
6		rexr 7729	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antrl 479	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8		simprl 503	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		rexadd 9522	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
10	8, 8, 9	syl2anc 406	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
11	8	recnd 7712	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 8860	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
13	10, 12	eqtr4d 2148	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (2 · 𝑅))
14		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
15		metcl 12336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
16		2re 8694	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2pos 8715	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 268	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19		lemuldiv2 8544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
20	18, 19	mp3an3 1285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
21	14, 15, 20	syl2anr 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
22	21	biimprd 157	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄)))
23	22	impr 374	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
24	13, 23	eqbrtrd 3913	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
25		bldisj 12384	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1212	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 943   = wceq 1312   ∈ wcel 1461   ∩ cin 3034  ∅c0 3327   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  ℝcr 7540  0cc0 7541   + caddc 7544   · cmul 7546  ℝ^*cxr 7717   < clt 7718   ≤ cle 7719   / cdiv 8339  2c2 8675   +_𝑒 cxad 9444  ∞Metcxmet 11986  Metcmet 11987  ballcbl 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-map 6496  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-2 8683  df-xadd 9447  df-psmet 11993  df-xmet 11994  df-met 11995  df-bl 11996

This theorem is referenced by: (None)