Theorem bl2in 13483

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bl2in	⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1000	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 13435	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		simpl2 1001	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
5		simpl3 1002	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑄 ∈ 𝑋)
6		rexr 7977	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
7	6	ad2antrl 490	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		rexadd 9823	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
10	8, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
11	8	recnd 7960	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
12	11	2timesd 9134	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
13	10, 12	eqtr4d 2211	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) = (2 · 𝑅))
14		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ)
15		metcl 13433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ)
16		2re 8962	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2pos 8983	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
18	16, 17	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
19		lemuldiv2 8812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
20	18, 19	mp3an3 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐷𝑄) ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
21	14, 15, 20	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄) ↔ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2)))
22	21	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄)))
23	22	impr 379	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (2 · 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
24	13, 23	eqbrtrd 4020	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))
25		bldisj 13481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑅 +𝑒 𝑅) ≤ (𝑃𝐷𝑄))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)
26	3, 4, 5, 7, 7, 24, 25	syl33anc 1253	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃𝐷𝑄) / 2))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑄(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3126  ∅c0 3420   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  0cc0 7786   + caddc 7789   · cmul 7791  ℝ^*cxr 7965   < clt 7966   ≤ cle 7967   / cdiv 8602  2c2 8943   +_𝑒 cxad 9741  ∞Metcxmet 13060  Metcmet 13061  ballcbl 13062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-2 8951  df-xadd 9744  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070

This theorem is referenced by: (None)