Theorem crre 10893

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
crre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Proof of Theorem crre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7969	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7931	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 7969	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 7963	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 7961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		reval 10885	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
10		cjcl 10884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
11	7, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
12	7, 11	addcld 8002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
13	12	halfcld 9188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
14	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		recl 10889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
16	7, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
17	9, 16	eqeltrrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℝ)
18		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 8363	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
20	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
21	3	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21, 4	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
23	7, 11	subcld 8293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
24	23	halfcld 9188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	subdid 8396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
26	14, 22, 14	pnpcand 8330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
27	22, 14, 22	pnpcan2d 8331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
28	26, 27	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	28	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
30	14, 14	addcld 8002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
31	7, 11, 30	addsubd 8314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
32	22, 22	addcld 8002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32, 7, 11	subsubd 8321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
34	29, 31, 33	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
35	14	2timesd 9186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	35	oveq2d 5908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)))
37	22	2timesd 9186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)))
38	37	oveq1d 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
40	39	oveq1d 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2))
41		2cn 9015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		mulcl 7963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 14, 42	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
44	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
45		2ap0 9037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 # 0
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 # 0)
47	12, 43, 44, 46	divsubdirapd 8812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)))
48		mulcl 7963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
49	41, 22, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49, 23, 44, 46	divsubdirapd 8812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
51	40, 47, 50	3eqtr3d 2230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
52	14, 44, 46	divcanap3d 8777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
53	52	oveq2d 5908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴))
54	22, 44, 46	divcanap3d 8777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) / 2) = (i · 𝐵))
55	54	oveq1d 5907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
57	56	oveq2d 5908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
58	20, 20, 21	mulassd 8006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵)))
59	20, 23, 44, 46	divassapd 8808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
60	58, 59	oveq12d 5910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
61	25, 57, 60	3eqtr4d 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)))
62		ixi 8565	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
63		neg1rr 9050	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
64	62, 63	eqeltri 2262	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
65		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		remulcl 7964	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
67	64, 65, 66	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
68		cjth 10882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ))
69	68	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
71	70	rehalfcld 9190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) ∈ ℝ)
72	67, 71	resubcld 8363	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) ∈ ℝ)
73	61, 72	eqeltrd 2266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
74		rimul 8567	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
75	19, 73, 74	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
76	13, 14, 75	subeq0d 8301	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) = 𝐴)
77	9, 76	eqtrd 2222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  ℂcc 7834  ℝcr 7835  0cc0 7836  1c1 7837  ici 7838   + caddc 7839   · cmul 7841   − cmin 8153  -cneg 8154   # cap 8563   / cdiv 8654  2c2 8995  ∗ccj 10875  ℜcre 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-2 9003  df-cj 10878  df-re 10879

This theorem is referenced by:  crim  10894  replim  10895  mulreap  10900  recj  10903  reneg  10904  readd  10905  remullem  10907  rei  10935  crrei  10972  crred  11012  rennim  11038  absreimsq  11103  4sqlem4  12419  2sqlem2  14899