Theorem crre 10406

Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
crre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Proof of Theorem crre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7572	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7537	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 7572	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 7566	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 406	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		addcl 7564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7	1, 5, 6	syl2an 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8		reval 10398	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
10		cjcl 10397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
11	7, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
12	7, 11	addcld 7604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
13	12	halfcld 8758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
14	1	adantr 271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		recl 10402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
16	7, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
17	9, 16	eqeltrrd 2172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℝ)
18		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 7956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
20	2	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
21	3	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	2, 21, 4	sylancr 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
23	7, 11	subcld 7890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
24	23	halfcld 8758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
25	20, 22, 24	subdid 7989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
26	14, 22, 14	pnpcand 7927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
27	22, 14, 22	pnpcan2d 7928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
28	26, 27	eqtr4d 2130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	28	oveq1d 5705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
30	14, 14	addcld 7604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
31	7, 11, 30	addsubd 7911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
32	22, 22	addcld 7604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32, 7, 11	subsubd 7918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
34	29, 31, 33	3eqtr4d 2137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
35	14	2timesd 8756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
36	35	oveq2d 5706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)))
37	22	2timesd 8756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)))
38	37	oveq1d 5705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
39	34, 36, 38	3eqtr4d 2137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
40	39	oveq1d 5705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2))
41		2cn 8591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		mulcl 7566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
43	41, 14, 42	sylancr 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
44	41	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
45		2ap0 8613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 # 0
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 # 0)
47	12, 43, 44, 46	divsubdirapd 8394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)))
48		mulcl 7566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
49	41, 22, 48	sylancr 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
50	49, 23, 44, 46	divsubdirapd 8394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
51	40, 47, 50	3eqtr3d 2135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
52	14, 44, 46	divcanap3d 8359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
53	52	oveq2d 5706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴))
54	22, 44, 46	divcanap3d 8359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) / 2) = (i · 𝐵))
55	54	oveq1d 5705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
56	51, 53, 55	3eqtr3d 2135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
57	56	oveq2d 5706	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
58	20, 20, 21	mulassd 7608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵)))
59	20, 23, 44, 46	divassapd 8390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
60	58, 59	oveq12d 5708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
61	25, 57, 60	3eqtr4d 2137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)))
62		ixi 8157	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
63		neg1rr 8626	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
64	62, 63	eqeltri 2167	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
65		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
66		remulcl 7567	. . . . . . 7 ⊢ (((i · i) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
67	64, 65, 66	sylancr 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
68		cjth 10395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ))
69	68	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
70	7, 69	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
71	70	rehalfcld 8760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) ∈ ℝ)
72	67, 71	resubcld 7956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) ∈ ℝ)
73	61, 72	eqeltrd 2171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
74		rimul 8159	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
75	19, 73, 74	syl2anc 404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
76	13, 14, 75	subeq0d 7898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) = 𝐴)
77	9, 76	eqtrd 2127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448  ici 7449   + caddc 7450   · cmul 7452   − cmin 7750  -cneg 7751   # cap 8155   / cdiv 8236  2c2 8571  ∗ccj 10388  ℜcre 10389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-2 8579  df-cj 10391  df-re 10392

This theorem is referenced by:  crim  10407  replim  10408  mulreap  10413  recj  10416  reneg  10417  readd  10418  remullem  10420  rei  10448  crrei  10485  crred  10525  rennim  10550  absreimsq  10615