ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flhalf GIF version

Theorem flhalf 10201
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 peano2z 9203 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2 2nn 8994 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
3 znq 9533 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
41, 2, 3sylancl 410 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
5 flqltp1 10178 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
7 zre 9171 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 peano2re 8011 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
104flqcld 10176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
1110zred 9286 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
12 1red 7893 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
1311, 12readdcld 7907 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
14 2rp 9565 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
1514a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
169, 13, 15ltdivmuld 9655 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
176, 16mpbid 146 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
1812recnd 7906 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
19182timesd 9075 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
2019oveq2d 5840 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
21 2cnd 8906 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
2211recnd 7906 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
2321, 22, 18adddid 7902 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
24 2re 8903 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
2625, 11remulcld 7908 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 7906 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
2827, 18, 18addassd 7900 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2920, 23, 283eqtr4d 2200 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
3017, 29breqtrd 3990 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
3126, 12readdcld 7907 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
327, 31, 12ltadd1d 8413 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3330, 32mpbird 166 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
34 2z 9195 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3534a1i 9 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3635, 10zmulcld 9292 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
37 zleltp1 9222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3836, 37mpdan 418 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
3933, 38mpbird 166 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  wcel 2128   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cr 7731  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   < clt 7912  cle 7913   / cdiv 8545  cn 8833  2c2 8884  cz 9167  cq 9528  +crp 9560  cfl 10167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator