Theorem flhalf 10315

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flhalf	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		2nn 9093	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		znq 9637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
5		flqltp1 10292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
7		zre 9270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		peano2re 8106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
10	4	flqcld 10290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
11	10	zred 9388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
12		1red 7985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 8000	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
14		2rp 9671	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
16	9, 13, 15	ltdivmuld 9761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
17	6, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
18	12	recnd 7999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
19	18	2timesd 9174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	oveq2d 5904	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
21		2cnd 9005	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
22	11	recnd 7999	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
23	21, 22, 18	adddid 7995	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
24		2re 9002	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
26	25, 11	remulcld 8001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 7999	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
28	27, 18, 18	addassd 7993	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
29	20, 23, 28	3eqtr4d 2230	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
30	17, 29	breqtrd 4041	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
31	26, 12	readdcld 8000	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
32	7, 31, 12	ltadd1d 8508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
33	30, 32	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
34		2z 9294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
36	35, 10	zmulcld 9394	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
37		zleltp1 9321	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
38	36, 37	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
39	33, 38	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℝcr 7823  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829   < clt 8005   ≤ cle 8006   / cdiv 8642  ℕcn 8932  2c2 8983  ℤcz 9266  ℚcq 9632  ℝ⁺crp 9666  ⌊cfl 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283

This theorem is referenced by: (None)