ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flhalf GIF version

Theorem flhalf 10302
Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flhalf (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf
StepHypRef Expression
1 peano2z 9289 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2 2nn 9080 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
3 znq 9624 . . . . . . 7 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„š)
41, 2, 3sylancl 413 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„š)
5 flqltp1 10279 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
64, 5syl 14 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))
7 zre 9257 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8 peano2re 8093 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
97, 8syl 14 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
104flqcld 10277 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
1110zred 9375 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„)
12 1red 7972 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1311, 12readdcld 7987 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„)
14 2rp 9658 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
1514a1i 9 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
169, 13, 15ltdivmuld 9748 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) < ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1))))
176, 16mpbid 147 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)))
1812recnd 7986 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
19182timesd 9161 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 1) = (1 + 1))
2019oveq2d 5891 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
21 2cnd 8992 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2211recnd 7986 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„‚)
2321, 22, 18adddid 7982 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (2 ยท 1)))
24 2re 8989 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
2524a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2625, 11remulcld 7988 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„)
2726recnd 7986 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„‚)
2827, 18, 18addassd 7980 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + (1 + 1)))
2920, 23, 283eqtr4d 2220 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2)) + 1)) = (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
3017, 29breqtrd 4030 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1))
3126, 12readdcld 7987 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โˆˆ โ„)
327, 31, 12ltadd1d 8495 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) โ†” (๐‘ + 1) < (((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1) + 1)))
3330, 32mpbird 167 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1))
34 2z 9281 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3534a1i 9 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3635, 10zmulcld 9381 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค)
37 zleltp1 9308 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3836, 37mpdan 421 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) โ†” ๐‘ < ((2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))) + 1)))
3933, 38mpbird 167 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โ‰ค (2 ยท (โŒŠโ€˜((๐‘ + 1) / 2))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โ„+crp 9653  โŒŠcfl 10268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator