Theorem flhalf 10539

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
flhalf	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2		2nn 9288	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		znq 9836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ)
5		flqltp1 10516	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℚ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))
7		zre 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		peano2re 8298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
10	4	flqcld 10514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
11	10	zred 9585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℝ)
12		1red 8177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 8192	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
14		2rp 9871	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
16	9, 13, 15	ltdivmuld 9961	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) < ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1))))
17	6, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)))
18	12	recnd 8191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
19	18	2timesd 9370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 1) = (1 + 1))
20	19	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
21		2cnd 9199	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
22	11	recnd 8191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℂ)
23	21, 22, 18	adddid 8187	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (2 · 1)))
24		2re 9196	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
25	24	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
26	25, 11	remulcld 8193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℝ)
27	26	recnd 8191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℂ)
28	27, 18, 18	addassd 8185	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1) = ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + (1 + 1)))
29	20, 23, 28	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · ((⌊‘((𝑁 + 1) / 2)) + 1)) = (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
30	17, 29	breqtrd 4109	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1))
31	26, 12	readdcld 8192	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
32	7, 31, 12	ltadd1d 8701	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) ↔ (𝑁 + 1) < (((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1) + 1)))
33	30, 32	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1))
34		2z 9490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
36	35, 10	zmulcld 9591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ)
37		zleltp1 9518	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
38	36, 37	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) ↔ 𝑁 < ((2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))) + 1)))
39	33, 38	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (2 · (⌊‘((𝑁 + 1) / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   / cdiv 8835  ℕcn 9126  2c2 9177  ℤcz 9462  ℚcq 9831  ℝ⁺crp 9866  ⌊cfl 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507

This theorem is referenced by: (None)