ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  q2submod GIF version

Theorem q2submod 10399
Description: If a number is between a modulus and twice the modulus, the first number modulo the modulus equals the first number minus the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
q2submod (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))

Proof of Theorem q2submod
StepHypRef Expression
1 qcn 9648 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1020 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
32adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
43mulridd 7988 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
54oveq2d 5904 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท 1)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
65oveq1d 5903 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท 1)) mod ๐ต) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ต))
7 simpl1 1001 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
8 1zzd 9294 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
9 simpl2 1002 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
10 simpl3 1003 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
11 modqcyc2 10374 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท 1)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))
127, 8, 9, 10, 11syl22anc 1249 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ต ยท 1)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))
13 qsubcl 9652 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
147, 9, 13syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š)
15 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)))
16 qre 9639 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
177, 16syl 14 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
18 qre 9639 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
199, 18syl 14 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2017, 19subge0d 8506 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
2120bicomd 141 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ด โ†” 0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2232timesd 9175 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
2322breq2d 4027 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด < (2 ยท ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ต)))
2417, 19, 19ltsubaddd 8512 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ต)))
2523, 24bitr4d 191 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด < (2 ยท ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ต))
2621, 25anbi12d 473 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†” (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ต)))
2715, 26mpbid 147 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ต))
28 modqid 10363 . . 3 ((((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
2914, 9, 27, 28syl21anc 1247 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
306, 12, 293eqtr3d 2228 1 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  โ„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   โˆ’ cmin 8142  2c2 8984  โ„คcz 9267  โ„šcq 9633   mod cmo 10336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-q 9634  df-rp 9668  df-fl 10284  df-mod 10337
This theorem is referenced by:  modifeq2int  10400  modaddmodup  10401
  Copyright terms: Public domain W3C validator