ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  q2submod GIF version

Theorem q2submod 9695
Description: If a number is between a modulus and twice the modulus, the first number modulo the modulus equals the first number minus the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
q2submod (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem q2submod
StepHypRef Expression
1 qcn 9028 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 963 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 270 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
43mulid1d 7426 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
54oveq2d 5610 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴𝐵))
65oveq1d 5609 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴𝐵) mod 𝐵))
7 simpl1 944 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 1zzd 8687 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
9 simpl2 945 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℚ)
10 simpl3 946 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
11 modqcyc2 9670 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
127, 8, 9, 10, 11syl22anc 1173 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
13 qsubcl 9032 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
147, 9, 13syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
15 simpr 108 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵)))
16 qre 9019 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
177, 16syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 qre 9019 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
199, 18syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
2017, 19subge0d 7930 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
2120bicomd 139 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴𝐵)))
2232timesd 8568 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2322breq2d 3826 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
2417, 19, 19ltsubaddd 7936 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) < 𝐵𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
2523, 24bitr4d 189 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐵))
2621, 25anbi12d 457 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)))
2715, 26mpbid 145 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵))
28 modqid 9659 . . 3 ((((𝐴𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
2914, 9, 27, 28syl21anc 1171 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
306, 12, 293eqtr3d 2125 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cc 7269  cr 7270  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274   · cmul 7276   < clt 7443  cle 7444  cmin 7574  2c2 8384  cz 8660  cq 9013   mod cmo 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-q 9014  df-rp 9044  df-fl 9580  df-mod 9633
This theorem is referenced by:  modifeq2int  9696  modaddmodup  9697
  Copyright terms: Public domain W3C validator