Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  q2submod GIF version

Theorem q2submod 10165
 Description: If a number is between a modulus and twice the modulus, the first number modulo the modulus equals the first number minus the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
q2submod (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem q2submod
StepHypRef Expression
1 qcn 9433 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1003 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
43mulid1d 7790 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
54oveq2d 5790 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴𝐵))
65oveq1d 5789 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴𝐵) mod 𝐵))
7 simpl1 984 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 1zzd 9088 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
9 simpl2 985 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℚ)
10 simpl3 986 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
11 modqcyc2 10140 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
127, 8, 9, 10, 11syl22anc 1217 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
13 qsubcl 9437 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
147, 9, 13syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴𝐵) ∈ ℚ)
15 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵)))
16 qre 9424 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
177, 16syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 qre 9424 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
199, 18syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
2017, 19subge0d 8304 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
2120bicomd 140 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴𝐵)))
2232timesd 8969 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2322breq2d 3941 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
2417, 19, 19ltsubaddd 8310 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) < 𝐵𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
2523, 24bitr4d 190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐵))
2621, 25anbi12d 464 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)))
2715, 26mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵))
28 modqid 10129 . . 3 ((((𝐴𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
2914, 9, 27, 28syl21anc 1215 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
306, 12, 293eqtr3d 2180 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940  2c2 8778  ℤcz 9061  ℚcq 9418   mod cmo 10102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449  df-fl 10050  df-mod 10103 This theorem is referenced by:  modifeq2int  10166  modaddmodup  10167
 Copyright terms: Public domain W3C validator