Theorem q2submod 10477

Description: If a number is between a modulus and twice the modulus, the first number modulo the modulus equals the first number minus the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2submod	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem q2submod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	mulridd 8043	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
5	4	oveq2d 5938	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	oveq1d 5937	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵))
7		simpl1 1002	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		1zzd 9353	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 1 ∈ ℤ)
9		simpl2 1003	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℚ)
10		simpl3 1004	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 0 < 𝐵)
11		modqcyc2 10452	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
12	7, 8, 9, 10, 11	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
13		qsubcl 9712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
14	7, 9, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ)
15		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)))
16		qre 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
17	7, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		qre 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	9, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	17, 19	subge0d 8562	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
21	20	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
22	3	2timesd 9234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	22	breq2d 4045	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
24	17, 19, 19	ltsubaddd 8568	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
25	23, 24	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
26	21, 25	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)))
27	15, 26	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
28		modqid 10441	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
29	14, 9, 27, 28	syl21anc 1248	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
30	6, 12, 29	3eqtr3d 2237	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197  2c2 9041  ℤcz 9326  ℚcq 9693   mod cmo 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415

This theorem is referenced by:  modifeq2int  10478  modaddmodup  10479