ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expeven GIF version

Theorem m1expeven 9998
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 8753 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 8656 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 5668 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 neg1cn 8525 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 neg1ap0 8529 . . . 4 -1 # 0
6 expaddzap 9995 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
74, 5, 6mpanl12 427 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
87anidms 389 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9 m1expcl2 9973 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10 neg1rr 8526 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
11 reexpclzap 9971 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
1210, 5, 11mp3an12 1263 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
13 elprg 3466 . . . . 5 ((-1↑𝑁) ∈ ℝ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
1412, 13syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
15 oveq12 5661 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
1615anidms 389 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
17 neg1mulneg1e1 8626 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
1816, 17syl6eq 2136 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
19 oveq12 5661 . . . . . . 7 (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
2019anidms 389 . . . . . 6 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
21 1t1e1 8566 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
2220, 21syl6eq 2136 . . . . 5 ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2318, 22jaoi 671 . . . 4 (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
2414, 23syl6bi 161 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1))
259, 24mpd 13 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
263, 8, 253eqtrd 2124 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  {cpr 3447   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652  cc 7346  cr 7347  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353  -cneg 7652   # cap 8056  2c2 8471  cz 8748  cexp 9950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951
This theorem is referenced by:  m1expe  11173  m1expo  11174  m1exp1  11175
  Copyright terms: Public domain W3C validator