ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expeven GIF version

Theorem m1expeven 10569
Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
m1expeven (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven
StepHypRef Expression
1 zcn 9260 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
212timesd 9163 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
32oveq2d 5893 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)))
4 neg1cn 9026 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 neg1ap0 9030 . . . 4 -1 # 0
6 expaddzap 10566 . . . 4 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
74, 5, 6mpanl12 436 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
87anidms 397 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
9 m1expcl2 10544 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
10 neg1rr 9027 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„
11 reexpclzap 10542 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„ โˆง -1 # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
1210, 5, 11mp3an12 1327 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
13 elprg 3614 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1)))
1412, 13syl 14 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†” ((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1)))
15 oveq12 5886 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = -1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
1615anidms 397 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (-1 ยท -1))
17 neg1mulneg1e1 9133 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
1816, 17eqtrdi 2226 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = -1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
19 oveq12 5886 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘) = 1 โˆง (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
2019anidms 397 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = (1 ยท 1))
21 1t1e1 9073 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
2220, 21eqtrdi 2226 . . . . 5 ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2318, 22jaoi 716 . . . 4 (((-1โ†‘๐‘) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘) = 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
2414, 23biimtrdi 163 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1))
259, 24mpd 13 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
263, 8, 253eqtrd 2214 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cpr 3595   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818  -cneg 8131   # cap 8540  2c2 8972  โ„คcz 9255  โ†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  m1expe  11906  m1expo  11907  m1exp1  11908
  Copyright terms: Public domain W3C validator