Theorem m1expeven 10680

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9333	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 9236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 5939	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		neg1cn 9097	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		neg1ap0 9101	. . . 4 ⊢ -1 # 0
6		expaddzap 10677	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
7	4, 5, 6	mpanl12 436	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
8	7	anidms 397	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9		m1expcl2 10655	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10		neg1rr 9098	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
11		reexpclzap 10653	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 5, 11	mp3an12 1338	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
13		elprg 3643	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ ℝ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
15		oveq12 5932	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
16	15	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
17		neg1mulneg1e1 9205	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2245	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
19		oveq12 5932	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
20	19	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
21		1t1e1 9145	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2245	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
23	18, 22	jaoi 717	. . . 4 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
24	14, 23	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1))
25	9, 24	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
26	3, 8, 25	3eqtrd 2233	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3624   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  ℝcr 7880  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886  -cneg 8200   # cap 8610  2c2 9043  ℤcz 9328  ↑cexp 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-seqfrec 10542  df-exp 10633

This theorem is referenced by:  m1expe  12066  m1expo  12067  m1exp1  12068  gausslemma2d  15320