Theorem m1expeven 10466

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 9075	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 5840	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		neg1cn 8938	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		neg1ap0 8942	. . . 4 ⊢ -1 # 0
6		expaddzap 10463	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
7	4, 5, 6	mpanl12 433	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
8	7	anidms 395	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9		m1expcl2 10441	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10		neg1rr 8939	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
11		reexpclzap 10439	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 5, 11	mp3an12 1309	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
13		elprg 3580	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ ℝ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
15		oveq12 5833	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
16	15	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
17		neg1mulneg1e1 9045	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
18	16, 17	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
19		oveq12 5833	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
20	19	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
21		1t1e1 8985	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22	20, 21	eqtrdi 2206	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
23	18, 22	jaoi 706	. . . 4 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
24	14, 23	syl6bi 162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1))
25	9, 24	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
26	3, 8, 25	3eqtrd 2194	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  {cpr 3561   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  ℝcr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737  -cneg 8047   # cap 8456  2c2 8884  ℤcz 9167  ↑cexp 10418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345  df-exp 10419

This theorem is referenced by:  m1expe  11790  m1expo  11791  m1exp1  11792