Theorem m1expeven 10063

Description: Exponentiation of negative one to an even power. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
m1expeven	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Proof of Theorem m1expeven

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 8816	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 8719	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 5682	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		neg1cn 8588	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		neg1ap0 8592	. . . 4 ⊢ -1 # 0
6		expaddzap 10060	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
7	4, 5, 6	mpanl12 428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
8	7	anidms 390	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9		m1expcl2 10038	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
10		neg1rr 8589	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
11		reexpclzap 10036	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
12	10, 5, 11	mp3an12 1264	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
13		elprg 3470	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ ℝ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
15		oveq12 5675	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ (-1↑𝑁) = -1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
16	15	anidms 390	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (-1 · -1))
17		neg1mulneg1e1 8689	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
18	16, 17	syl6eq 2137	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
19		oveq12 5675	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
20	19	anidms 390	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = (1 · 1))
21		1t1e1 8629	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22	20, 21	syl6eq 2137	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
23	18, 22	jaoi 672	. . . 4 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
24	14, 23	syl6bi 162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1))
25	9, 24	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
26	3, 8, 25	3eqtrd 2125	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  {cpr 3451   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416  -cneg 7715   # cap 8119  2c2 8534  ℤcz 8811  ↑cexp 10015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016

This theorem is referenced by:  m1expe  11238  m1expo  11239  m1exp1  11240