addsin - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem addsin 11752

Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
addsin	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

**Proof of Theorem addsin**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2	1	halfcld 9165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
3	2	sincld 11720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4		subcl 8158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5	4	halfcld 9165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
6	5	coscld 11721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 7980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
8	7	2timesd 9163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
9		sinadd 11746	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
10	2, 5, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
11		sinsub 11750	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
12	2, 5, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
13	10, 12	oveq12d 5895	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
14	2	coscld 11721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
15	5	sincld 11720	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 7980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17	7, 16, 7	ppncand 8310	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
18	13, 17	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
19		halfaddsub 9155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))
20	19	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
21	20	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (sin‘𝐴))
22	19	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
23	22	fveq2d 5521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (sin‘𝐵))
24	21, 23	oveq12d 5895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)))
25	8, 18, 24	3eqtr2rd 2217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ‘cfv 5218 (class class class)co 5877 ℂcc 7811 + caddc 7816 · cmul 7818 − cmin 8130 / cdiv 8631 2c2 8972 sincsin 11654 cosccos 11655

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-disj 3983 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-oadd 6423 df-er 6537 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-ico 9896 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-fac 10708 df-bc 10730 df-ihash 10758 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-sumdc 11364 df-ef 11658 df-sin 11660 df-cos 11661

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