Theorem efival 12524

Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
efival	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8280	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 8312	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 12456	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		negicn 8534	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
7		mulcl 8312	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 12456	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	5, 10	addcld 8351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
12	5, 10	subcld 8644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2cn 9384	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		2ap0 9406	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
15	13, 14	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
16		divdirap 9035	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
17	15, 16	mp3an3 1367	. . 3 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
18	11, 12, 17	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
19	10, 5	pncan3d 8647	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
20	19	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
21	5, 10, 12	addassd 8354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘( -i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))))))
22	5	2timesd 9559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
23	20, 21, 22	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
24	23	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25		divcanap3 9036	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	13, 14, 25	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
27	5, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
28	24, 27	eqtr2d 2272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴)))) / 2))
29		cosval 12495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
30		2mulicn 9538	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
31		2muliap0 9540	. . . . . . 7 ⊢ (2 · i) # 0
32	30, 31	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0)
33		div12ap 9032	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
34	1, 32, 33	mp3an13 1369	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
35	12, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36		sinval 12494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i)))
37	36	oveq2d 6104	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / (2 · i))))
38		divrecap 9026	. . . . . . 7 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
39	13, 14, 38	mp3an23 1370	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
40	12, 39	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2)))
41	1	mullidi 8335	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · i) = i
42	41	oveq1i 6098	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43		iap0 9539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i # 0
44	1, 43	dividapi 9083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i / i) = 1
45	44	oveq2i 6099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46, 13, 1, 1, 14, 43	divmuldivapi 9110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
48	45, 47	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49		halfcn 9530	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
50	49	mulridi 8334	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
51	48, 50	eqtr3i 2261	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
52	42, 51	eqtr3i 2261	. . . . . 6 ⊢ (i / (2 · i)) = (1 / 2)
53	52	oveq2i 6099	. . . . 5 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (1 / 2))
54	40, 53	eqtr4di 2289	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
55	35, 37, 54	3eqtr4d 2281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
56	29, 55	oveq12d 6106	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘( -i · 𝐴))) / 2)))
57	18, 28, 56	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186  ici 8187   + caddc 8188   · cmul 8190   − cmin 8504   -cneg 8505   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  expce 12434  sincsin 12436  cosccos 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443

This theorem is used by:  efmival  12525  efeul  12526  efieq  12527  sinadd  12528  cosadd  12529  absefi  12561  demoivre  12565  efhalfpi  16026  efipi  16028  ef2pi  16032  efimpi  16046