ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efival GIF version

Theorem efival 11739
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
efival (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))

Proof of Theorem efival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7905 . . . . . 6 i ∈ ℂ
2 mulcl 7937 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 424 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efcl 11671 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6 negicn 8157 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
7 mulcl 7937 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
86, 7mpan 424 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 11671 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
115, 10addcld 7976 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
125, 10subcld 8267 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13 2cn 8989 . . . . 5 2 ∈ ℂ
14 2ap0 9011 . . . . 5 2 # 0
1513, 14pm3.2i 272 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
16 divdirap 8653 . . . 4 ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1715, 16mp3an3 1326 . . 3 ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1811, 12, 17syl2anc 411 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
1910, 5pncan3d 8270 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
2019oveq2d 5890 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
215, 10, 12addassd 7979 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + ((exp‘(-i · 𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))))
2252timesd 9160 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
2320, 21, 223eqtr4d 2220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) = (2 · (exp‘(i · 𝐴))))
2423oveq1d 5889 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2) = ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2))
25 divcanap3 8654 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
2613, 14, 25mp3an23 1329 . . . 4 ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
275, 26syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘(i · 𝐴))) / 2) = (exp‘(i · 𝐴)))
2824, 27eqtr2d 2211 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴)))) / 2))
29 cosval 11710 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
30 2mulicn 9140 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
31 2muliap0 9142 . . . . . . 7 (2 · i) # 0
3230, 31pm3.2i 272 . . . . . 6 ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0)
33 div12ap 8650 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0)) → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
341, 32, 33mp3an13 1328 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
3512, 34syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
36 sinval 11709 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
3736oveq2d 5890 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (i · (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i))))
38 divrecap 8644 . . . . . . 7 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
3913, 14, 38mp3an23 1329 . . . . . 6 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
4012, 39syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2)))
411mullidi 7959 . . . . . . . 8 (1 · i) = i
4241oveq1i 5884 . . . . . . 7 ((1 · i) / (2 · i)) = (i / (2 · i))
43 iap0 9141 . . . . . . . . . . 11 i # 0
441, 43dividapi 8701 . . . . . . . . . 10 (i / i) = 1
4544oveq2i 5885 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 / 2) · 1)
46 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4746, 13, 1, 1, 14, 43divmuldivapi 8728 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (i / i)) = ((1 · i) / (2 · i))
4845, 47eqtr3i 2200 . . . . . . . 8 ((1 / 2) · 1) = ((1 · i) / (2 · i))
49 halfcn 9132 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
5049mulid1i 7958 . . . . . . . 8 ((1 / 2) · 1) = (1 / 2)
5148, 50eqtr3i 2200 . . . . . . 7 ((1 · i) / (2 · i)) = (1 / 2)
5242, 51eqtr3i 2200 . . . . . 6 (i / (2 · i)) = (1 / 2)
5352oveq2i 5885 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (1 / 2))
5440, 53eqtr4di 2228 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) · (i / (2 · i))))
5535, 37, 543eqtr4d 2220 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (sin‘𝐴)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
5629, 55oveq12d 5892 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) + (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / 2)))
5718, 28, 563eqtr4d 2220 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811  ici 7812   + caddc 7813   · cmul 7815  cmin 8127  -cneg 8128   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  expce 11649  sincsin 11651  cosccos 11652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-sin 11657  df-cos 11658
This theorem is referenced by:  efmival  11740  efeul  11741  efieq  11742  sinadd  11743  cosadd  11744  absefi  11775  demoivre  11779  efhalfpi  14190  efipi  14192  ef2pi  14196  efimpi  14210
  Copyright terms: Public domain W3C validator