ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxltsup GIF version

Theorem maxltsup 11222
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxltsup ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem maxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpl2 1001 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 maxcl 11214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5 simpl3 1002 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 maxle1 11215 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
763adant3 1017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
101, 4, 5, 8, 9lelttrd 8080 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11 maxle2 11216 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
132, 4, 5, 12, 9lelttrd 8080 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
1410, 13jca 306 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
15 maxabs 11213 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
16153adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
1716adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
18 2re 8987 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ)
20 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2119, 20remulcld 7986 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
2221recnd 7984 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
23 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423recnd 7984 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2625recnd 7984 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2724, 26addcld 7975 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2822, 27negsubdi2d 8282 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))
2923, 25readdcld 7985 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3023, 25resubcld 8336 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
31262timesd 9159 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3224, 26, 26pnncand 8305 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
3331, 32eqtr4d 2213 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)))
34 2rp 9656 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
3534a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ+)
36 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
3725, 20, 35, 36ltmul2dd 9751 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) < (2 · 𝐶))
3833, 37eqbrtrrd 4027 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) < (2 · 𝐶))
3929, 30, 21, 38ltsub23d 8505 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) < (𝐴𝐵))
4028, 39eqbrtrd 4025 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵))
4124, 26, 24nppcan3d 8293 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
42242timesd 9159 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4341, 42eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (2 · 𝐴))
44 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4523, 20, 35, 44ltmul2dd 9751 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) < (2 · 𝐶))
4643, 45eqbrtrd 4025 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶))
4730, 29, 21ltaddsubd 8500 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶) ↔ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
4846, 47mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
4940, 48jca 306 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
5021, 29resubcld 8336 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5130, 50absltd 11178 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))))
5249, 51mpbird 167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
5330recnd 7984 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5453abscld 11185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
5529, 54, 21ltaddsub2d 8501 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
5652, 55mpbird 167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶))
5729, 54readdcld 7985 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
5857, 20, 35ltdivmuld 9746 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐶 ↔ ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶)))
5956, 58mpbird 167 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐶)
6017, 59eqbrtrd 4025 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
6114, 60impbida 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  supcsup 6980  cr 7809   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7990  cle 7991  cmin 8126  -cneg 8127   / cdiv 8627  2c2 8968  +crp 9651  abscabs 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003
This theorem is referenced by:  ltmininf  11238  xrmaxltsup  11261  suplociccreex  13995
  Copyright terms: Public domain W3C validator