ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxltsup GIF version

Theorem maxltsup 11226
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxltsup ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))

Proof of Theorem maxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpl2 1001 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 maxcl 11218 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
5 simpl3 1002 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6 maxle1 11219 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
763adant3 1017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
101, 4, 5, 8, 9lelttrd 8081 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
11 maxle2 11220 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
132, 4, 5, 12, 9lelttrd 8081 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
1410, 13jca 306 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ))
15 maxabs 11217 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
16153adant3 1017 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
1716adantr 276 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
18 2re 8988 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2119, 20remulcld 7987 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2221recnd 7985 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
23 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2423recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
25 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2625recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2724, 26addcld 7976 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2822, 27negsubdi2d 8283 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)))
2923, 25readdcld 7986 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
3023, 25resubcld 8337 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
31262timesd 9160 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
3224, 26, 26pnncand 8306 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
3331, 32eqtr4d 2213 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
34 2rp 9657 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
3534a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
36 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
3725, 20, 35, 36ltmul2dd 9752 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) < (2 ยท ๐ถ))
3833, 37eqbrtrrd 4027 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
3929, 30, 21, 38ltsub23d 8506 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4028, 39eqbrtrd 4025 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4124, 26, 24nppcan3d 8294 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (๐ด + ๐ด))
42242timesd 9160 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4341, 42eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (2 ยท ๐ด))
44 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
4523, 20, 35, 44ltmul2dd 9752 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) < (2 ยท ๐ถ))
4643, 45eqbrtrd 4025 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
4730, 29, 21ltaddsubd 8501 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
4846, 47mpbid 147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
4940, 48jca 306 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5021, 29resubcld 8337 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
5130, 50absltd 11182 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))))
5249, 51mpbird 167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
5330recnd 7985 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5453abscld 11189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
5529, 54, 21ltaddsub2d 8502 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5652, 55mpbird 167 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ))
5729, 54readdcld 7986 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„)
5857, 20, 35ltdivmuld 9747 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ โ†” ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ)))
5956, 58mpbird 167 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ)
6017, 59eqbrtrd 4025 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
6114, 60impbida 596 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  supcsup 6980  โ„cr 7809   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127  -cneg 8128   / cdiv 8628  2c2 8969  โ„+crp 9652  abscabs 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by:  ltmininf  11242  xrmaxltsup  11265  suplociccreex  14038
  Copyright terms: Public domain W3C validator