ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxltsup GIF version

Theorem maxltsup 11241
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxltsup ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))

Proof of Theorem maxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1001 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpl2 1002 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 maxcl 11233 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
5 simpl3 1003 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6 maxle1 11234 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
763adant3 1018 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
101, 4, 5, 8, 9lelttrd 8096 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
11 maxle2 11235 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
132, 4, 5, 12, 9lelttrd 8096 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
1410, 13jca 306 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ))
15 maxabs 11232 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
16153adant3 1018 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
1716adantr 276 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
18 2re 9003 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl3 1003 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2119, 20remulcld 8002 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2221recnd 8000 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
23 simpl1 1001 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2423recnd 8000 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
25 simpl2 1002 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2625recnd 8000 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2724, 26addcld 7991 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2822, 27negsubdi2d 8298 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)))
2923, 25readdcld 8001 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
3023, 25resubcld 8352 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
31262timesd 9175 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
3224, 26, 26pnncand 8321 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
3331, 32eqtr4d 2223 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
34 2rp 9672 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
3534a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
36 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
3725, 20, 35, 36ltmul2dd 9767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) < (2 ยท ๐ถ))
3833, 37eqbrtrrd 4039 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
3929, 30, 21, 38ltsub23d 8521 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4028, 39eqbrtrd 4037 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4124, 26, 24nppcan3d 8309 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (๐ด + ๐ด))
42242timesd 9175 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4341, 42eqtr4d 2223 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (2 ยท ๐ด))
44 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
4523, 20, 35, 44ltmul2dd 9767 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) < (2 ยท ๐ถ))
4643, 45eqbrtrd 4037 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
4730, 29, 21ltaddsubd 8516 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
4846, 47mpbid 147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
4940, 48jca 306 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5021, 29resubcld 8352 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
5130, 50absltd 11197 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))))
5249, 51mpbird 167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
5330recnd 8000 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5453abscld 11204 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
5529, 54, 21ltaddsub2d 8517 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5652, 55mpbird 167 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ))
5729, 54readdcld 8001 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„)
5857, 20, 35ltdivmuld 9762 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ โ†” ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ)))
5956, 58mpbird 167 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ)
6017, 59eqbrtrd 4037 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
6114, 60impbida 596 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  {cpr 3605   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  supcsup 6995  โ„cr 7824   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   โˆ’ cmin 8142  -cneg 8143   / cdiv 8643  2c2 8984  โ„+crp 9667  abscabs 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022
This theorem is referenced by:  ltmininf  11257  xrmaxltsup  11280  suplociccreex  14455
  Copyright terms: Public domain W3C validator