Theorem maxltsup 11750

Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
maxltsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem maxltsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpl2 1025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		maxcl 11742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		simpl3 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		maxle1 11743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
7	6	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
10	1, 4, 5, 8, 9	lelttrd 8287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11		maxle2 11744	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
13	2, 4, 5, 12, 9	lelttrd 8287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
14	10, 13	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
15		maxabs 11741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
16	15	3adant3 1041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
18		2re 9196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ)
20		simpl3 1026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
21	19, 20	remulcld 8193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	recnd 8191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
23		simpl1 1024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	recnd 8191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		simpl2 1025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 8191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	24, 26	addcld 8182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28	22, 27	negsubdi2d 8489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))
29	23, 25	readdcld 8192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
30	23, 25	resubcld 8543	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
31	26	2timesd 9370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
32	24, 26, 26	pnncand 8512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
33	31, 32	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)))
34		2rp 9871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ+
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ+)
36		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
37	25, 20, 35, 36	ltmul2dd 9966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) < (2 · 𝐶))
38	33, 37	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴 − 𝐵)) < (2 · 𝐶))
39	29, 30, 21, 38	ltsub23d 8713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) < (𝐴 − 𝐵))
40	28, 39	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴 − 𝐵))
41	24, 26, 24	nppcan3d 8500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
42	24	2timesd 9370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
43	41, 42	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (2 · 𝐴))
44		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
45	23, 20, 35, 44	ltmul2dd 9966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) < (2 · 𝐶))
46	43, 45	eqbrtrd 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶))
47	30, 29, 21	ltaddsubd 8708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 − 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
48	46, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
49	40, 48	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
50	21, 29	resubcld 8543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
51	30, 50	absltd 11706	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))))
52	49, 51	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
53	30	recnd 8191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
54	53	abscld 11713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
55	29, 54, 21	ltaddsub2d 8709	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) < (2 · 𝐶) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
56	52, 55	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) < (2 · 𝐶))
57	29, 54	readdcld 8192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
58	57, 20, 35	ltdivmuld 9961	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐶 ↔ ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) < (2 · 𝐶)))
59	56, 58	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) < 𝐶)
60	17, 59	eqbrtrd 4105	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
61	14, 60	impbida 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  supcsup 7165  ℝcr 8014   + caddc 8018   · cmul 8020   < clt 8197   ≤ cle 8198   − cmin 8333  -cneg 8334   / cdiv 8835  2c2 9177  ℝ⁺crp 9866  abscabs 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-rp 9867  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531

This theorem is referenced by:  ltmininf  11767  xrmaxltsup  11790  suplociccreex  15319  hovera  15342