ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxltsup GIF version

Theorem maxltsup 11211
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxltsup ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem maxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpl2 1001 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 maxcl 11203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5 simpl3 1002 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 maxle1 11204 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
763adant3 1017 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
101, 4, 5, 8, 9lelttrd 8072 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11 maxle2 11205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
132, 4, 5, 12, 9lelttrd 8072 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
1410, 13jca 306 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
15 maxabs 11202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
16153adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
1716adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
18 2re 8978 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ)
20 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2119, 20remulcld 7978 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
2221recnd 7976 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
23 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2423recnd 7976 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2625recnd 7976 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2724, 26addcld 7967 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2822, 27negsubdi2d 8274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))
2923, 25readdcld 7977 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3023, 25resubcld 8328 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
31262timesd 9150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3224, 26, 26pnncand 8297 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) = (𝐵 + 𝐵))
3331, 32eqtr4d 2213 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)))
34 2rp 9645 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
3534a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 2 ∈ ℝ+)
36 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
3725, 20, 35, 36ltmul2dd 9740 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐵) < (2 · 𝐶))
3833, 37eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐴𝐵)) < (2 · 𝐶))
3929, 30, 21, 38ltsub23d 8497 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) < (𝐴𝐵))
4028, 39eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → -((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵))
4124, 26, 24nppcan3d 8285 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
42242timesd 9150 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4341, 42eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) = (2 · 𝐴))
44 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4523, 20, 35, 44ltmul2dd 9740 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (2 · 𝐴) < (2 · 𝐶))
4643, 45eqbrtrd 4022 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶))
4730, 29, 21ltaddsubd 8492 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) < (2 · 𝐶) ↔ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
4846, 47mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
4940, 48jca 306 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
5021, 29resubcld 8328 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
5130, 50absltd 11167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ (-((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)) < (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))))
5249, 51mpbird 167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵)))
5330recnd 7976 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5453abscld 11174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
5529, 54, 21ltaddsub2d 8493 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐶) − (𝐴 + 𝐵))))
5652, 55mpbird 167 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶))
5729, 54readdcld 7977 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
5857, 20, 35ltdivmuld 9735 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → ((((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐶 ↔ ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) < (2 · 𝐶)))
5956, 58mpbird 167 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) < 𝐶)
6017, 59eqbrtrd 4022 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
6114, 60impbida 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3592   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  supcsup 6975  cr 7801   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118  -cneg 8119   / cdiv 8618  2c2 8959  +crp 9640  abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  ltmininf  11227  xrmaxltsup  11250  suplociccreex  13769
  Copyright terms: Public domain W3C validator