ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxltsup GIF version

Theorem maxltsup 11230
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
maxltsup ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))

Proof of Theorem maxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpl2 1001 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 maxcl 11222 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) โˆˆ โ„)
5 simpl3 1002 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6 maxle1 11223 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
763adant3 1017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
101, 4, 5, 8, 9lelttrd 8085 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
11 maxle2 11224 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต โ‰ค sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ))
132, 4, 5, 12, 9lelttrd 8085 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
1410, 13jca 306 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ) โ†’ (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ))
15 maxabs 11221 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
16153adant3 1017 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
1716adantr 276 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) = (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2))
18 2re 8992 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
1918a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
20 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2119, 20remulcld 7991 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2221recnd 7989 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
23 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2423recnd 7989 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
25 simpl2 1001 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2625recnd 7989 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2724, 26addcld 7980 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2822, 27negsubdi2d 8287 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)))
2923, 25readdcld 7990 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
3023, 25resubcld 8341 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
31262timesd 9164 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต + ๐ต))
3224, 26, 26pnncand 8310 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ต + ๐ต))
3331, 32eqtr4d 2213 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) = ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
34 2rp 9661 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„+
3534a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
36 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ต < ๐ถ)
3725, 20, 35, 36ltmul2dd 9756 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ต) < (2 ยท ๐ถ))
3833, 37eqbrtrrd 4029 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
3929, 30, 21, 38ltsub23d 8510 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆ’ (2 ยท ๐ถ)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4028, 39eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ -((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต))
4124, 26, 24nppcan3d 8298 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (๐ด + ๐ด))
42242timesd 9164 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
4341, 42eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) = (2 ยท ๐ด))
44 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ๐ด < ๐ถ)
4523, 20, 35, 44ltmul2dd 9756 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (2 ยท ๐ด) < (2 ยท ๐ถ))
4643, 45eqbrtrd 4027 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ))
4730, 29, 21ltaddsubd 8505 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
4846, 47mpbid 147 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
4940, 48jca 306 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5021, 29resubcld 8341 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„)
5130, 50absltd 11186 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) โ†” (-((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)) < (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))))
5249, 51mpbird 167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต)))
5330recnd 7989 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5453abscld 11193 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
5529, 54, 21ltaddsub2d 8506 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ด + ๐ต))))
5652, 55mpbird 167 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ))
5729, 54readdcld 7990 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) โˆˆ โ„)
5857, 20, 35ltdivmuld 9751 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ โ†” ((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) < (2 ยท ๐ถ)))
5956, 58mpbird 167 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต))) / 2) < ๐ถ)
6017, 59eqbrtrd 4027 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ)
6114, 60impbida 596 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (sup({๐ด, ๐ต}, โ„, < ) < ๐ถ โ†” (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {cpr 3595   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  supcsup 6984  โ„cr 7813   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   โˆ’ cmin 8131  -cneg 8132   / cdiv 8632  2c2 8973  โ„+crp 9656  abscabs 11009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011
This theorem is referenced by:  ltmininf  11246  xrmaxltsup  11269  suplociccreex  14290
  Copyright terms: Public domain W3C validator