ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elbl3 GIF version

Theorem elbl3 13528
Description: Membership in a ball, with reversed distance function arguments. (Contributed by NM, 10-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
elbl3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))

Proof of Theorem elbl3
StepHypRef Expression
1 elbl2 13526 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
2 xmetsym 13501 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
323expb 1204 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
43adantlr 477 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝑃))
54breq1d 4010 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷𝐴) < 𝑅 ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
61, 5bitrd 188 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑃) < 𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  *cxr 7968   < clt 7969  ∞Metcxmet 13113  ballcbl 13115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-apti 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-map 6643  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-xadd 9747  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-bl 13123
This theorem is referenced by:  blcom  13530
  Copyright terms: Public domain W3C validator