Theorem decsubi 8937

Description: Difference between a numeral 𝑀 and a nonnegative integer 𝑁 (no underflow). (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddci.5	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐷
decsubi.5	⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsubi	⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8892	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decaddi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0mulcli 8709	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 8683	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
5		decaddi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 8683	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7		decaddi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 8683	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
9	4, 6, 8	addsubassi 7771	. 2 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
10		decaddi.4	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
11		dfdec10 8878	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
12	10, 11	eqtri 2108	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13	12	oveq1i 5662	. 2 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) − 𝑁)
14		dfdec10 8878	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
15		decsubi.5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑁) = 𝐶
16	15	eqcomi 2092	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐵 − 𝑁)
17	16	oveq2i 5663	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
18	14, 17	eqtri 2108	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 − 𝑁))
19	9, 13, 18	3eqtr4i 2118	1 ⊢ (𝑀 − 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  (class class class)co 5652  0cc0 7348  1c1 7349   + caddc 7351   · cmul 7353   − cmin 7651  ℕ₀cn0 8671  ;cdc 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-5 8482  df-6 8483  df-7 8484  df-8 8485  df-9 8486  df-n0 8672  df-dec 8876

This theorem is referenced by: (None)