Theorem decmul10add 9679

Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul10add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4	⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5	⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
decmul10add	⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9614	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq2i 6029	. 2 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
3		decmul10add.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9414	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
5		10nn0 9628	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
6		decmul10add.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0mulcli 9440	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9414	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		decmul10add.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9414	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	4, 8, 10	adddii 8189	. 2 ⊢ (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
12	5	nn0cni 9414	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
13	6	nn0cni 9414	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14	4, 12, 13	mul12i 8325	. . . 4 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = (;10 · (𝑀 · 𝐴))
15	3, 6	nn0mulcli 9440	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
16	15	dec0u 9631	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝑀 · 𝐴)) = ;(𝑀 · 𝐴)0
17		decmul10add.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
18	17	eqcomi 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
19	18	deceq1i 9617	. . . 4 ⊢ ;(𝑀 · 𝐴)0 = ;𝐸0
20	14, 16, 19	3eqtri 2256	. . 3 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = ;𝐸0
21		decmul10add.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
22	21	eqcomi 2235	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
23	20, 22	oveq12i 6030	. 2 ⊢ ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (;𝐸0 + 𝐹)
24	2, 11, 23	3eqtri 2256	1 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  ℕ₀cn0 9402  ;cdc 9611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612

This theorem is referenced by: (None)