Theorem decmul10add 9390

Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul10add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4	⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5	⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
decmul10add	⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9325	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq2i 5853	. 2 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
3		decmul10add.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9126	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
5		10nn0 9339	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
6		decmul10add.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0mulcli 9152	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9126	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		decmul10add.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9126	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	4, 8, 10	adddii 7909	. 2 ⊢ (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
12	5	nn0cni 9126	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
13	6	nn0cni 9126	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14	4, 12, 13	mul12i 8044	. . . 4 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = (;10 · (𝑀 · 𝐴))
15	3, 6	nn0mulcli 9152	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
16	15	dec0u 9342	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝑀 · 𝐴)) = ;(𝑀 · 𝐴)0
17		decmul10add.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
18	17	eqcomi 2169	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
19	18	deceq1i 9328	. . . 4 ⊢ ;(𝑀 · 𝐴)0 = ;𝐸0
20	14, 16, 19	3eqtri 2190	. . 3 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = ;𝐸0
21		decmul10add.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
22	21	eqcomi 2169	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
23	20, 22	oveq12i 5854	. 2 ⊢ ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (;𝐸0 + 𝐹)
24	2, 11, 23	3eqtri 2190	1 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ;cdc 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-dec 9323

This theorem is referenced by: (None)