Theorem decmul10add 9855

Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul10add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4	⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5	⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
decmul10add	⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9785	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq2i 6096	. 2 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
3		decmul10add.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9580	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
5		10nn0 9803	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
6		decmul10add.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0mulcli 9606	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9580	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		decmul10add.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9580	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	4, 8, 10	adddii 8337	. 2 ⊢ (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
12	5	nn0cni 9580	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
13	6	nn0cni 9580	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14	4, 12, 13	mul12i 8474	. . . 4 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = (;10 · (𝑀 · 𝐴))
15	3, 6	nn0mulcli 9606	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
16	15	dec0u 9807	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝑀 · 𝐴)) = ;(𝑀 · 𝐴)0
17		decmul10add.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
18	17	eqcomi 2242	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
19	18	deceq1i 9788	. . . 4 ⊢ ;(𝑀 · 𝐴)0 = ;𝐸0
20	14, 16, 19	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = ;𝐸0
21		decmul10add.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
22	21	eqcomi 2242	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
23	20, 22	oveq12i 6097	. 2 ⊢ ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (;𝐸0 + 𝐹)
24	2, 11, 23	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185  ℕ₀cn0 9568  ;cdc 9782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783

This theorem is used by: (None)