Theorem decmul10add 9516

Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul10add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4	⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5	⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
decmul10add	⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9451	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq2i 5929	. 2 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
3		decmul10add.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 9252	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
5		10nn0 9465	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
6		decmul10add.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0mulcli 9278	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 9252	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		decmul10add.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 9252	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	4, 8, 10	adddii 8029	. 2 ⊢ (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
12	5	nn0cni 9252	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
13	6	nn0cni 9252	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14	4, 12, 13	mul12i 8165	. . . 4 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = (;10 · (𝑀 · 𝐴))
15	3, 6	nn0mulcli 9278	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
16	15	dec0u 9468	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝑀 · 𝐴)) = ;(𝑀 · 𝐴)0
17		decmul10add.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
18	17	eqcomi 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
19	18	deceq1i 9454	. . . 4 ⊢ ;(𝑀 · 𝐴)0 = ;𝐸0
20	14, 16, 19	3eqtri 2218	. . 3 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = ;𝐸0
21		decmul10add.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
22	21	eqcomi 2197	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
23	20, 22	oveq12i 5930	. 2 ⊢ ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (;𝐸0 + 𝐹)
24	2, 11, 23	3eqtri 2218	1 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℕ₀cn0 9240  ;cdc 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-dec 9449

This theorem is referenced by: (None)