ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decmul10add GIF version

Theorem decmul10add 9487
Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul10add.1 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
Assertion
Ref Expression
decmul10add (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add
StepHypRef Expression
1 dfdec10 9422 . . 3 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq2i 5911 . 2 (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝑀 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
3 decmul10add.3 . . . 4 𝑀 ∈ ℕ0
43nn0cni 9223 . . 3 𝑀 ∈ ℂ
5 10nn0 9436 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
6 decmul10add.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
75, 6nn0mulcli 9249 . . . 4 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
87nn0cni 9223 . . 3 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
9 decmul10add.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 9223 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
114, 8, 10adddii 8002 . 2 (𝑀 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
125nn0cni 9223 . . . . 5 10 ∈ ℂ
136nn0cni 9223 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
144, 12, 13mul12i 8138 . . . 4 (𝑀 · (10 · 𝐴)) = (10 · (𝑀 · 𝐴))
153, 6nn0mulcli 9249 . . . . 5 (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
1615dec0u 9439 . . . 4 (10 · (𝑀 · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴)0
17 decmul10add.4 . . . . . 6 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
1817eqcomi 2193 . . . . 5 (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
1918deceq1i 9425 . . . 4 (𝑀 · 𝐴)0 = 𝐸0
2014, 16, 193eqtri 2214 . . 3 (𝑀 · (10 · 𝐴)) = 𝐸0
21 decmul10add.5 . . . 4 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
2221eqcomi 2193 . . 3 (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
2320, 22oveq12i 5912 . 2 ((𝑀 · (10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (𝐸0 + 𝐹)
242, 11, 233eqtri 2214 1 (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝐸0 + 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   · cmul 7851  0cn0 9211  cdc 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sub 8165  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-9 9020  df-n0 9212  df-dec 9420
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator