ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dif1en GIF version

Theorem dif1en 6675
Description: If a set 𝐴 is equinumerous to the successor of a natural number 𝑀, then 𝐴 with an element removed is equinumerous to 𝑀. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dif1en ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1en
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 947 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝑀)
21ensymd 6580 . . 3 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀𝐴)
3 bren 6544 . . 3 (suc 𝑀𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
42, 3sylib 121 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
5 peano2 4438 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ ω)
6 nnfi 6668 . . . . . . . 8 (suc 𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
75, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
873ad2ant1 967 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀 ∈ Fin)
9 enfii 6670 . . . . . 6 ((suc 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → 𝐴 ∈ Fin)
108, 1, 9syl2anc 404 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
1110adantr 271 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpl3 951 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
13 f1of 5288 . . . . . 6 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀𝐴)
1413adantl 272 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀𝐴)
15 sucidg 4267 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
16153ad2ant1 967 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1716adantr 271 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1814, 17ffvelrnd 5474 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
19 fidifsnen 6666 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
2011, 12, 18, 19syl3anc 1181 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
21 nnord 4454 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
22 orddif 4391 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
24233ad2ant1 967 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2524adantr 271 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2623eleq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 ∈ ω ↔ (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω))
2726ibi 175 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
28273ad2ant1 967 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
2928adantr 271 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
30 dff1o2 5293 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 Fn suc 𝑀 ∧ Fun 𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
3130simp2bi 962 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Fun 𝑓)
3231adantl 272 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Fun 𝑓)
33 f1ofo 5295 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
3433adantl 272 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
35 f1orel 5291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Rel 𝑓)
3635adantl 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Rel 𝑓)
37 resdm 4784 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑓 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
39 f1odm 5292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = suc 𝑀)
4039reseq2d 4745 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4140adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4238, 41eqtr3d 2129 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
43 foeq1 5264 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4534, 44mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴)
46 simpl1 949 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ ω)
47 f1osng 5329 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
4846, 18, 47syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
49 f1ofo 5295 . . . . . . . . 9 ({⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)} → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
5048, 49syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
51 f1ofn 5289 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓 Fn suc 𝑀)
5251adantl 272 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 Fn suc 𝑀)
53 fnressn 5522 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
5452, 17, 53syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
55 foeq1 5264 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩} → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5654, 55syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5750, 56mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
58 resdif 5310 . . . . . . 7 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴 ∧ (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
5932, 45, 57, 58syl3anc 1181 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
60 f1oeng 6554 . . . . . 6 (((suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω ∧ (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)})) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6129, 59, 60syl2anc 404 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6225, 61eqbrtrd 3887 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6362ensymd 6580 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
64 entr 6581 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
6520, 63, 64syl2anc 404 . 2 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
664, 65exlimddv 1833 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 927   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  cdif 3010  {csn 3466  cop 3469   class class class wbr 3867  Ord word 4213  suc csuc 4216  ωcom 4433  ccnv 4466  dom cdm 4467  ran crn 4468  cres 4469  Rel wrel 4472  Fun wfun 5043   Fn wfn 5044  wf 5045  ontowfo 5047  1-1-ontowf1o 5048  cfv 5049  cen 6535  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-fin 6540
This theorem is referenced by:  dif1enen  6676  findcard  6684  findcard2  6685  findcard2s  6686  diffisn  6689  en2eleq  6918  en2other2  6919  zfz1isolem1  10360
  Copyright terms: Public domain W3C validator