ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dif1en GIF version

Theorem dif1en 6882
Description: If a set 𝐴 is equinumerous to the successor of a natural number 𝑀, then 𝐴 with an element removed is equinumerous to 𝑀. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
dif1en ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)

Proof of Theorem dif1en
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝑀)
21ensymd 6786 . . 3 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀𝐴)
3 bren 6750 . . 3 (suc 𝑀𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
42, 3sylib 122 . 2 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴)
5 peano2 4596 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ ω)
6 nnfi 6875 . . . . . . . 8 (suc 𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
75, 6syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → suc 𝑀 ∈ Fin)
873ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → suc 𝑀 ∈ Fin)
9 enfii 6877 . . . . . 6 ((suc 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀) → 𝐴 ∈ Fin)
108, 1, 9syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
1110adantr 276 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
12 simpl3 1002 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑋𝐴)
13 f1of 5463 . . . . . 6 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀𝐴)
1413adantl 277 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀𝐴)
15 sucidg 4418 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
16153ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1716adantr 276 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ suc 𝑀)
1814, 17ffvelcdmd 5655 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓𝑀) ∈ 𝐴)
19 fidifsnen 6873 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
2011, 12, 18, 19syl3anc 1238 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
21 nnord 4613 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → Ord 𝑀)
22 orddif 4548 . . . . . . . 8 (Ord 𝑀𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ω → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
24233ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2524adantr 276 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 = (suc 𝑀 ∖ {𝑀}))
2623eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 ∈ ω ↔ (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω))
2726ibi 176 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
28273ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
2928adantr 276 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω)
30 dff1o2 5468 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 Fn suc 𝑀 ∧ Fun 𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝐴))
3130simp2bi 1013 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Fun 𝑓)
3231adantl 277 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Fun 𝑓)
33 f1ofo 5470 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
3433adantl 277 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓:suc 𝑀onto𝐴)
35 f1orel 5466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → Rel 𝑓)
3635adantl 277 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → Rel 𝑓)
37 resdm 4948 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑓 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = 𝑓)
39 f1odm 5467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = suc 𝑀)
4039reseq2d 4909 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴 → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4140adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ dom 𝑓) = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
4238, 41eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀))
43 foeq1 5436 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑓 ↾ suc 𝑀) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓:suc 𝑀onto𝐴 ↔ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴))
4534, 44mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴)
46 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ∈ ω)
47 f1osng 5504 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ (𝑓𝑀) ∈ 𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
4846, 18, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)})
49 f1ofo 5470 . . . . . . . . 9 ({⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–1-1-onto→{(𝑓𝑀)} → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
5048, 49syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
51 f1ofn 5464 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴𝑓 Fn suc 𝑀)
5251adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑓 Fn suc 𝑀)
53 fnressn 5705 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝑀𝑀 ∈ suc 𝑀) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
5452, 17, 53syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩})
55 foeq1 5436 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ↾ {𝑀}) = {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩} → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5654, 55syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → ((𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)} ↔ {⟨𝑀, (𝑓𝑀)⟩}:{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}))
5750, 56mpbird 167 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)})
58 resdif 5485 . . . . . . 7 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑓 ↾ suc 𝑀):suc 𝑀onto𝐴 ∧ (𝑓 ↾ {𝑀}):{𝑀}–onto→{(𝑓𝑀)}) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
5932, 45, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
60 f1oeng 6760 . . . . . 6 (((suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ∈ ω ∧ (𝑓 ↾ (suc 𝑀 ∖ {𝑀})):(suc 𝑀 ∖ {𝑀})–1-1-onto→(𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)})) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6129, 59, 60syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (suc 𝑀 ∖ {𝑀}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6225, 61eqbrtrd 4027 . . . 4 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → 𝑀 ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}))
6362ensymd 6786 . . 3 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀)
64 entr 6787 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ∧ (𝐴 ∖ {(𝑓𝑀)}) ≈ 𝑀) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
6520, 63, 64syl2anc 411 . 2 (((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑀1-1-onto𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
664, 65exlimddv 1898 1 ((𝑀 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑀𝑋𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑋}) ≈ 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  cdif 3128  {csn 3594  cop 3597   class class class wbr 4005  Ord word 4364  suc csuc 4367  ωcom 4591  ccnv 4627  dom cdm 4628  ran crn 4629  cres 4630  Rel wrel 4633  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213  wf 5214  ontowfo 5216  1-1-ontowf1o 5217  cfv 5218  cen 6741  Fincfn 6743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746
This theorem is referenced by:  dif1enen  6883  findcard  6891  findcard2  6892  findcard2s  6893  diffisn  6896  en2eleq  7197  en2other2  7198  zfz1isolem1  10823
  Copyright terms: Public domain W3C validator