Theorem exmidfodomr 7200

Description: Excluded middle is equivalent to the existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomr	⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidfodomrlemim 7197	. 2 ⊢ (EXMID → ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))
2		exmidfodomrlemr 7198	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)
3	1, 2	impbii 126	1 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351  ∃wex 1492   class class class wbr 4002  EXMIDwem 4193  –onto→wfo 5213   ≼ cdom 6736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-exmid 4194  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6414  df-2o 6415  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-dju 7034  df-inl 7043  df-inr 7044  df-case 7080

This theorem is referenced by: (None)