ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrehmeocntop GIF version

Theorem cnrehmeocntop 12751
Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to described in cnref1o 9433 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeocntop.3 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
cnrehmeocntop 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeocntop
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retopon 12684 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
42, 3eqeltri 2210 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
54a1i 9 . . . . 5 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6 cnrehmeocntop.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
76cntoptop 12691 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
8 cnrest2r 12395 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
97, 8mp1i 10 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
105, 5cnmpt1st 12446 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
116tgioo2cntop 12707 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
122, 11eqtri 2158 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t ℝ)
1312oveq2i 5778 . . . . . . 7 ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ))
1410, 13eleqtrdi 2230 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
159, 14sseldd 3093 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
166cntoptopon 12690 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18 ax-icn 7708 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1918a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → i ∈ ℂ)
205, 5, 17, 19cnmpt2c 12448 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
215, 5cnmpt2nd 12447 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2221, 13eleqtrdi 2230 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
239, 22sseldd 3093 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
246mulcncntop 12712 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2524a1i 9 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 12453 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
276addcncntop 12710 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2827a1i 9 . . . . 5 (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 12453 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
301, 29eqeltrid 2224 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
311cnrecnv 10675 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32 ref 10620 . . . . . . . 8 ℜ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 5467 . . . . . 6 (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
35 recncf 12731 . . . . . . 7 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
36 ssid 3112 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
37 ax-resscn 7705 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3816toponrestid 12177 . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝐾t ℂ)
396, 38, 12cncfcncntop 12738 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
4036, 37, 39mp2an 422 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
4135, 40eleqtri 2212 . . . . . 6 ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4234, 41eqeltrrdi 2229 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
43 imf 10621 . . . . . . . 8 ℑ:ℂ⟶ℝ
4443a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4544feqmptd 5467 . . . . . 6 (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
46 imcncf 12732 . . . . . . 7 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4746, 40eleqtri 2212 . . . . . 6 ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4845, 47eqeltrrdi 2229 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4917, 42, 48cnmpt1t 12443 . . . 4 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
5031, 49eqeltrid 2224 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
51 ishmeo 12462 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
5230, 50, 51sylanbrc 413 . 2 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
5352mptru 1340 1 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wtru 1332  wcel 1480  wss 3066  cop 3525  cmpt 3984  ccnv 4533  ran crn 4535  ccom 4538  wf 5114  cfv 5118  (class class class)co 5767  cmpo 5769  cc 7611  cr 7612  ici 7615   + caddc 7616   · cmul 7618  cmin 7926  (,)cioo 9664  cre 10605  cim 10606  abscabs 10762  t crest 12109  topGenctg 12124  MetOpencmopn 12143  Topctop 12153  TopOnctopon 12166   Cn ccn 12343   ×t ctx 12410  Homeochmeo 12458  cnccncf 12715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733  ax-addf 7735  ax-mulf 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-map 6537  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-ioo 9668  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-cn 12346  df-cnp 12347  df-tx 12411  df-hmeo 12459  df-cncf 12716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator