Theorem dvmptcjx 15311

Description: Function-builder for derivative, conjugate rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcj.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcj.da	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptcjx.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
dvmptcjx	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcjx

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptcj.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	fmpttd 5758	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ)
3		dvmptcjx.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
4		dvcj 15296	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))))
6		cjf 11273	. . . . 5 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
8	7, 1	cofmpt 5772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴)))
9	8	oveq2d 5983	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))))
10		reelprrecn 8095	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12		dvmptcj.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		dvmptcj.da	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
14	11, 1, 12, 13, 3	dvmptclx 15305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	7	feqmptd 5655	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
16		fveq2 5599	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∗‘𝑦) = (∗‘𝐵))
17	14, 13, 15, 16	fmptco 5769	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
18	5, 9, 17	3eqtr3d 2248	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174  {cpr 3644   ↦ cmpt 4121   ∘ ccom 4697  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  ∗ccj 11265   D cdv 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-pm 6761  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by: (None)