ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptcjx GIF version

Theorem dvmptcjx 13156
Description: Function-builder for derivative, conjugate rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptcj.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptcjx.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dvmptcjx (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptcjx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptcj.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21fmpttd 5624 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
3 dvmptcjx.x . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
4 dvcj 13143 . . 3 (((𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥𝑋𝐴))))
52, 3, 4syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (∗ ∘ (ℝ D (𝑥𝑋𝐴))))
6 cjf 10758 . . . . 5 ∗:ℂ⟶ℂ
76a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ∗:ℂ⟶ℂ)
87, 1cofmpt 5638 . . 3 (𝜑 → (∗ ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴)))
98oveq2d 5842 . 2 (𝜑 → (ℝ D (∗ ∘ (𝑥𝑋𝐴))) = (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴))))
10 reelprrecn 7869 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
12 dvmptcj.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
13 dvmptcj.da . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
1411, 1, 12, 13, 3dvmptclx 13150 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
157feqmptd 5523 . . 3 (𝜑 → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
16 fveq2 5470 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∗‘𝑦) = (∗‘𝐵))
1714, 13, 15, 16fmptco 5635 . 2 (𝜑 → (∗ ∘ (ℝ D (𝑥𝑋𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
185, 9, 173eqtr3d 2198 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wss 3102  {cpr 3562  cmpt 4027  ccom 4592  wf 5168  cfv 5172  (class class class)co 5826  cc 7732  cr 7733  ccj 10750   D cdv 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-map 6597  df-pm 6598  df-sup 6930  df-inf 6931  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-xneg 9685  df-xadd 9686  df-ioo 9802  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-rest 12423  df-topgen 12442  df-psmet 12457  df-xmet 12458  df-met 12459  df-bl 12460  df-mopn 12461  df-top 12466  df-topon 12479  df-bases 12511  df-ntr 12566  df-cn 12658  df-cnp 12659  df-cncf 13028  df-limced 13095  df-dvap 13096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator