Theorem dfur2g 12938

Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfur2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfur2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfur2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfur2g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒,𝐵   𝑅,𝑒,𝑥   𝑒,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑒)   1 (𝑥,𝑒)

Proof of Theorem dfur2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 12927	. . . 4 ⊢ mulGrp Fn V
2		elex 2746	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		funfvex 5524	. . . . 5 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
4	3	funfni 5308	. . . 4 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
6		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
9	6, 7, 8	grpidvalg 12657	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
11		eqid 2175	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		dfur2.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	11, 12	ringidvalg 12937	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		dfur2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	11, 14	mgpbasg 12930	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	15	eleq2d 2245	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
17		dfur2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	mgpplusgg 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 5882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
20	19	eqeq1d 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
21	18	oveqd 5882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒))
22	21	eqeq1d 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))
23	20, 22	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
24	15, 23	raleqbidv 2682	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
25	16, 24	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
26	25	iotabidv 5191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
27	10, 13, 26	3eqtr4d 2218	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  Vcvv 2735  ℩cio 5168   Fn wfn 5203  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  +_gcplusg 12492  ._rcmulr 12493  0_gc0g 12626  mulGrpcmgp 12925  1_rcur 12935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgp 12926  df-ur 12936

This theorem is referenced by: (None)