ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfur2g GIF version

Theorem dfur2g 13183
Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfur2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dfur2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
dfur2.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dfur2g (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘’,๐ต   ๐‘…,๐‘’,๐‘ฅ   ๐‘’,๐‘‰,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘’)   1 (๐‘ฅ,๐‘’)

Proof of Theorem dfur2g
StepHypRef Expression
1 fnmgp 13148 . . . 4 mulGrp Fn V
2 elex 2750 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3 funfvex 5534 . . . . 5 ((Fun mulGrp โˆง ๐‘… โˆˆ dom mulGrp) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
43funfni 5318 . . . 4 ((mulGrp Fn V โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
51, 2, 4sylancr 414 . . 3 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
6 eqid 2177 . . . 4 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
7 eqid 2177 . . . 4 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
8 eqid 2177 . . . 4 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
96, 7, 8grpidvalg 12799 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
105, 9syl 14 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
11 eqid 2177 . . 3 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
12 dfur2.u . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
1311, 12ringidvalg 13182 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
14 dfur2.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1511, 14mgpbasg 13152 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1615eleq2d 2247 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘’ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))))
17 dfur2.t . . . . . . . . 9 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
1811, 17mgpplusgg 13150 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1918oveqd 5895 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
2019eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
2118oveqd 5895 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’))
2221eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))
2320, 22anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ)))
2415, 23raleqbidv 2685 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ)))
2516, 24anbi12d 473 . . 3 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
2625iotabidv 5201 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
2710, 13, 263eqtr4d 2220 1 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  Vcvv 2739  โ„ฉcio 5178   Fn wfn 5213  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  +gcplusg 12539  .rcmulr 12540  0gc0g 12711  mulGrpcmgp 13146  1rcur 13180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgp 13147  df-ur 13181
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator