Theorem dfur2g 14249

Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfur2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfur2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfur2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfur2g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒,𝐵   𝑅,𝑒,𝑥   𝑒,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑒)   1 (𝑥,𝑒)

Proof of Theorem dfur2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 14202	. . . 4 ⊢ mulGrp Fn V
2		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		funfvex 5710	. . . . 5 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
4	3	funfni 5481	. . . 4 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
5	1, 2, 4	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
9	6, 7, 8	grpidvalg 13676	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
11		eqid 2238	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		dfur2.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	11, 12	ringidvalg 14247	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		dfur2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	11, 14	mgpbasg 14207	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	15	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
17		dfur2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	mgpplusgg 14204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
21	18	oveqd 6096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒))
22	21	eqeq1d 2247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))
23	20, 22	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
24	15, 23	raleqbidv 2765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
25	16, 24	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
26	25	iotabidv 5358	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
27	10, 13, 26	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ℩cio 5333   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415  0_gc0g 13593  mulGrpcmgp 14200  1_rcur 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgp 14201  df-ur 14246

This theorem is referenced by: (None)