Theorem dfur2g 13518

Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfur2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfur2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfur2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfur2g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒,𝐵   𝑅,𝑒,𝑥   𝑒,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑒)   1 (𝑥,𝑒)

Proof of Theorem dfur2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13478	. . . 4 ⊢ mulGrp Fn V
2		elex 2774	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		funfvex 5575	. . . . 5 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
4	3	funfni 5358	. . . 4 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
6		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
9	6, 7, 8	grpidvalg 13016	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
11		eqid 2196	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		dfur2.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	11, 12	ringidvalg 13517	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		dfur2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	11, 14	mgpbasg 13482	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	15	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
17		dfur2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	mgpplusgg 13480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 5939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
20	19	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
21	18	oveqd 5939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒))
22	21	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))
23	20, 22	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
24	15, 23	raleqbidv 2709	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
25	16, 24	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
26	25	iotabidv 5241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
27	10, 13, 26	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ℩cio 5217   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  0_gc0g 12927  mulGrpcmgp 13476  1_rcur 13515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgp 13477  df-ur 13516

This theorem is referenced by: (None)