ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfur2g GIF version

Theorem dfur2g 13143
Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfur2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dfur2.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
dfur2.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dfur2g (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘’,๐ต   ๐‘…,๐‘’,๐‘ฅ   ๐‘’,๐‘‰,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘’)   1 (๐‘ฅ,๐‘’)

Proof of Theorem dfur2g
StepHypRef Expression
1 fnmgp 13130 . . . 4 mulGrp Fn V
2 elex 2748 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
3 funfvex 5532 . . . . 5 ((Fun mulGrp โˆง ๐‘… โˆˆ dom mulGrp) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
43funfni 5316 . . . 4 ((mulGrp Fn V โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
51, 2, 4sylancr 414 . . 3 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
6 eqid 2177 . . . 4 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
7 eqid 2177 . . . 4 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
8 eqid 2177 . . . 4 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
96, 7, 8grpidvalg 12791 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ V โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
105, 9syl 14 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
11 eqid 2177 . . 3 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
12 dfur2.u . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
1311, 12ringidvalg 13142 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
14 dfur2.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1511, 14mgpbasg 13134 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1615eleq2d 2247 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘’ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))))
17 dfur2.t . . . . . . . . 9 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
1811, 17mgpplusgg 13132 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1918oveqd 5891 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
2019eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
2118oveqd 5891 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’))
2221eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))
2320, 22anbi12d 473 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ)))
2415, 23raleqbidv 2684 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ)))
2516, 24anbi12d 473 . . 3 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
2625iotabidv 5199 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))) = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘’(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘’) = ๐‘ฅ))))
2710, 13, 263eqtr4d 2220 1 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ 1 = (โ„ฉ๐‘’(๐‘’ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘’ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘’) = ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  Vcvv 2737  โ„ฉcio 5176   Fn wfn 5211  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  .rcmulr 12536  0gc0g 12704  mulGrpcmgp 13128  1rcur 13140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgp 13129  df-ur 13141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator