Theorem dfur2g 13968

Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfur2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfur2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfur2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfur2g	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒,𝐵   𝑅,𝑒,𝑥   𝑒,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑒)   1 (𝑥,𝑒)

Proof of Theorem dfur2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmgp 13928	. . . 4 ⊢ mulGrp Fn V
2		elex 2812	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		funfvex 5652	. . . . 5 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
4	3	funfni 5429	. . . 4 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
5	1, 2, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
6		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
7		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
9	6, 7, 8	grpidvalg 13449	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
10	5, 9	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		dfur2.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	11, 12	ringidvalg 13967	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
14		dfur2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	11, 14	mgpbasg 13932	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	15	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
17		dfur2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	11, 17	mgpplusgg 13930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
20	19	eqeq1d 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
21	18	oveqd 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒))
22	21	eqeq1d 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))
23	20, 22	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
24	15, 23	raleqbidv 2744	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥)))
25	16, 24	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
26	25	iotabidv 5307	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑒(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑒) = 𝑥))))
27	10, 13, 26	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800  ℩cio 5282   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  ._rcmulr 13154  0_gc0g 13332  mulGrpcmgp 13926  1_rcur 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-0g 13334  df-mgp 13927  df-ur 13966

This theorem is referenced by: (None)