Theorem plusgslid 13188

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13166	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9298	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13100	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  ℕcn 9136  2c2 9187  ndxcnx 13072  Slot cslot 13074  +_gcplusg 13153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-2 9195  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-plusg 13166

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13205  rngplusgg  13213  srngplusgd  13224  lmodplusgd  13242  ipsaddgd  13254  topgrpplusgd  13274  prdsplusgfval  13360  imasex  13381  imasival  13382  imasbas  13383  imasplusg  13384  imasaddfn  13393  imasaddval  13394  imasaddf  13395  qusaddval  13411  qusaddf  13412  ismgm  13433  plusfvalg  13439  plusffng  13441  gsumpropd2  13469  gsumsplit1r  13474  gsumprval  13475  issgrp  13479  ismnddef  13494  gsumfzz  13571  gsumwsubmcl  13572  gsumwmhm  13574  gsumfzcl  13575  grppropstrg  13595  grpsubval  13622  mulgval  13702  mulgfng  13704  mulgnngsum  13707  mulg1  13709  mulgnnp1  13710  mulgnndir  13731  subgintm  13778  isnsg  13782  gsumfzreidx  13917  gsumfzsubmcl  13918  gsumfzmptfidmadd  13919  gsumfzconst  13921  gsumfzmhm  13923  fnmgp  13928  mgpvalg  13929  mgpplusgg  13930  mgpex  13931  mgpbasg  13932  mgpscag  13933  mgptsetg  13934  mgpdsg  13936  mgpress  13937  isrng  13940  issrg  13971  isring  14006  ring1  14065  oppraddg  14082  islmod  14298  rmodislmod  14358  lsssn0  14377  lss1d  14390  lssintclm  14391  sraaddgg  14447  mpocnfldadd  14568  psrplusgg  14685  gfsumval  16630  gsumgfsumlem  16633