Theorem plusgslid 13166

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13144	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9288	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13078	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  ℕcn 9126  2c2 9177  ndxcnx 13050  Slot cslot 13052  +_gcplusg 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-plusg 13144

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13183  rngplusgg  13191  srngplusgd  13202  lmodplusgd  13220  ipsaddgd  13232  topgrpplusgd  13252  prdsplusgfval  13338  imasex  13359  imasival  13360  imasbas  13361  imasplusg  13362  imasaddfn  13371  imasaddval  13372  imasaddf  13373  qusaddval  13389  qusaddf  13390  ismgm  13411  plusfvalg  13417  plusffng  13419  gsumpropd2  13447  gsumsplit1r  13452  gsumprval  13453  issgrp  13457  ismnddef  13472  gsumfzz  13549  gsumwsubmcl  13550  gsumwmhm  13552  gsumfzcl  13553  grppropstrg  13573  grpsubval  13600  mulgval  13680  mulgfng  13682  mulgnngsum  13685  mulg1  13687  mulgnnp1  13688  mulgnndir  13709  subgintm  13756  isnsg  13760  gsumfzreidx  13895  gsumfzsubmcl  13896  gsumfzmptfidmadd  13897  gsumfzconst  13899  gsumfzmhm  13901  fnmgp  13906  mgpvalg  13907  mgpplusgg  13908  mgpex  13909  mgpbasg  13910  mgpscag  13911  mgptsetg  13912  mgpdsg  13914  mgpress  13915  isrng  13918  issrg  13949  isring  13984  ring1  14043  oppraddg  14060  islmod  14276  rmodislmod  14336  lsssn0  14355  lss1d  14368  lssintclm  14369  sraaddgg  14425  mpocnfldadd  14546  psrplusgg  14663