Theorem plusgslid 13409

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13387	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9416	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13321	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  ℕcn 9254  2c2 9305  ndxcnx 13293  Slot cslot 13295  +_gcplusg 13374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-plusg 13387

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13426  rngplusgg  13434  srngplusgd  13445  lmodplusgd  13463  ipsaddgd  13475  topgrpplusgd  13495  prdsplusgfval  13581  imasex  13602  imasival  13603  imasbas  13604  imasplusg  13605  imasaddfn  13614  imasaddval  13615  imasaddf  13616  qusaddval  13632  qusaddf  13633  ismgm  13654  plusfvalg  13660  plusffng  13662  gsumpropd2  13690  gsumsplit1r  13695  gsumprval  13696  issgrp  13700  ismnddef  13715  gsumfzz  13792  gsumwsubmcl  13793  gsumwmhm  13795  gsumfzcl  13796  grppropstrg  13816  grpsubval  13843  mulgval  13923  mulgfng  13925  mulgnngsum  13928  mulg1  13930  mulgnnp1  13931  mulgnndir  13952  subgintm  13999  isnsg  14003  gsumfzreidx  14138  gsumfzsubmcl  14139  gsumfzmptfidmadd  14140  gsumfzconst  14142  gsumfzmhm  14144  fnmgp  14150  mgpvalg  14151  mgpplusgg  14152  mgpex  14153  mgpbasg  14154  mgpscag  14155  mgptsetg  14156  mgpdsg  14158  mgpress  14159  isrng  14162  issrg  14193  isring  14228  ring1  14287  oppraddg  14304  islmod  14551  rmodislmod  14611  lsssn0  14630  lss1d  14643  lssintclm  14644  sraaddgg  14700  mpocnfldadd  14821  psrplusgg  14945  gfsumval  16974  gsumgfsumlem  16977