Theorem plusgslid 13200

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13178	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9305	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13112	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  ℕcn 9143  2c2 9194  ndxcnx 13084  Slot cslot 13086  +_gcplusg 13165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-plusg 13178

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13217  rngplusgg  13225  srngplusgd  13236  lmodplusgd  13254  ipsaddgd  13266  topgrpplusgd  13286  prdsplusgfval  13372  imasex  13393  imasival  13394  imasbas  13395  imasplusg  13396  imasaddfn  13405  imasaddval  13406  imasaddf  13407  qusaddval  13423  qusaddf  13424  ismgm  13445  plusfvalg  13451  plusffng  13453  gsumpropd2  13481  gsumsplit1r  13486  gsumprval  13487  issgrp  13491  ismnddef  13506  gsumfzz  13583  gsumwsubmcl  13584  gsumwmhm  13586  gsumfzcl  13587  grppropstrg  13607  grpsubval  13634  mulgval  13714  mulgfng  13716  mulgnngsum  13719  mulg1  13721  mulgnnp1  13722  mulgnndir  13743  subgintm  13790  isnsg  13794  gsumfzreidx  13929  gsumfzsubmcl  13930  gsumfzmptfidmadd  13931  gsumfzconst  13933  gsumfzmhm  13935  fnmgp  13941  mgpvalg  13942  mgpplusgg  13943  mgpex  13944  mgpbasg  13945  mgpscag  13946  mgptsetg  13947  mgpdsg  13949  mgpress  13950  isrng  13953  issrg  13984  isring  14019  ring1  14078  oppraddg  14095  islmod  14311  rmodislmod  14371  lsssn0  14390  lss1d  14403  lssintclm  14404  sraaddgg  14460  mpocnfldadd  14581  psrplusgg  14698  gfsumval  16706  gsumgfsumlem  16709