Theorem plusgslid 13526

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13504	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9478	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13436	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  ℕcn 9314  2c2 9365  ndxcnx 13408  Slot cslot 13410  +_gcplusg 13491

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9315  df-2 9373  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-plusg 13504

This theorem is used by:  ressplusgd  13543  rngplusgg  13551  srngplusgd  13562  lmodplusgd  13580  ipsaddgd  13592  topgrpplusgd  13612  imasex  13686  imasival  13687  imasbas  13688  imasplusg  13689  imasaddfn  13698  imasaddval  13699  imasaddf  13700  qusaddval  13716  qusaddf  13717  ismgm  13737  plusfvalg  13743  plusffng  13745  gzsumsplit1r  13775  issgrp  13778  ismnddef  13791  gzsumwsubmcl  13861  gzsumwmhm  13863  gzsumcl  13864  grppropstrg  13884  grpsubval  13911  mulgval  13985  mulgfng  13987  mulgnngzsum  13990  mulg1  13992  mulgnnp1  13993  mulgnndir  14014  subgintm  14061  isnsg  14065  gzsumreidx  14232  gzsumsubmcl  14233  gzsumconst  14234  gzsummhm  14236  gzsumshift  14240  gsumvalfi  14243  prdsplusgfval  14292  fnmgp  14327  mgpvalg  14328  mgpplusgg  14329  mgpplusg  14330  mgpex  14331  mgpbasg  14332  mgpscag  14334  mgptsetg  14335  mgpdsg  14337  mgpress  14338  isrng  14341  issrg  14377  isring  14412  ring1  14472  oppraddg  14491  islmod  14737  rmodislmod  14798  lsssn0  14817  lss1d  14830  lssintclm  14831  sraaddgg  14887  mpocnfldadd  15008  psrplusgg  15187  psrmulrg  15191