Theorem plusgslid 13413

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13391	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9419	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13325	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  ℕcn 9257  2c2 9308  ndxcnx 13297  Slot cslot 13299  +_gcplusg 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-plusg 13391

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13430  rngplusgg  13438  srngplusgd  13449  lmodplusgd  13467  ipsaddgd  13479  topgrpplusgd  13499  imasex  13573  imasival  13574  imasbas  13575  imasplusg  13576  imasaddfn  13585  imasaddval  13586  imasaddf  13587  qusaddval  13603  qusaddf  13604  ismgm  13624  plusfvalg  13630  plusffng  13632  gsumpropd2  13660  gsumsplit1r  13665  gsumprval  13666  issgrp  13670  ismnddef  13683  gsumfzz  13754  gsumwsubmcl  13755  gsumwmhm  13757  gsumfzcl  13758  grppropstrg  13778  grpsubval  13805  mulgval  13879  mulgfng  13881  mulgnngsum  13884  mulg1  13886  mulgnnp1  13887  mulgnndir  13908  subgintm  13955  isnsg  13959  gsumfzreidx  14094  gsumfzsubmcl  14095  gsumfzmptfidmadd  14096  gsumfzconst  14098  gsumfzmhm  14100  gfsumval  14106  gsumshift  14109  prdsplusgfval  14130  fnmgp  14165  mgpvalg  14166  mgpplusgg  14167  mgpex  14168  mgpbasg  14169  mgpscag  14170  mgptsetg  14171  mgpdsg  14173  mgpress  14174  isrng  14177  issrg  14212  isring  14247  ring1  14306  oppraddg  14323  islmod  14569  rmodislmod  14629  lsssn0  14648  lss1d  14661  lssintclm  14662  sraaddgg  14718  mpocnfldadd  14839  psrplusgg  14963