Theorem plusgslid 13449

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13427	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9449	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13360	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  ℕcn 9287  2c2 9338  ndxcnx 13332  Slot cslot 13334  +_gcplusg 13414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-plusg 13427

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13466  rngplusgg  13474  srngplusgd  13485  lmodplusgd  13503  ipsaddgd  13515  topgrpplusgd  13535  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  imasaddfn  13621  imasaddval  13622  imasaddf  13623  qusaddval  13639  qusaddf  13640  ismgm  13660  plusfvalg  13666  plusffng  13668  gzsumsplit1r  13698  issgrp  13701  ismnddef  13714  gzsumwsubmcl  13784  gzsumwmhm  13786  gzsumcl  13787  grppropstrg  13807  grpsubval  13834  mulgval  13908  mulgfng  13910  mulgnngzsum  13913  mulg1  13915  mulgnnp1  13916  mulgnndir  13937  subgintm  13984  isnsg  13988  gzsumreidx  14124  gzsumsubmcl  14125  gzsumconst  14126  gzsummhm  14128  gzsumshift  14132  gsumvalfi  14135  prdsplusgfval  14167  fnmgp  14202  mgpvalg  14203  mgpplusgg  14204  mgpplusg  14205  mgpex  14206  mgpbasg  14207  mgpscag  14209  mgptsetg  14210  mgpdsg  14212  mgpress  14213  isrng  14216  issrg  14252  isring  14287  ring1  14347  oppraddg  14364  islmod  14610  rmodislmod  14671  lsssn0  14690  lss1d  14703  lssintclm  14704  sraaddgg  14760  mpocnfldadd  14881  psrplusgg  15052