Theorem plusgslid 12790

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 12768	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9152	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12703	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  ℕcn 8990  2c2 9041  ndxcnx 12675  Slot cslot 12677  +_gcplusg 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-plusg 12768

This theorem is referenced by:  ressplusgd  12806  rngplusgg  12814  srngplusgd  12825  lmodplusgd  12843  ipsaddgd  12855  topgrpplusgd  12875  imasex  12948  imasival  12949  imasbas  12950  imasplusg  12951  imasaddfn  12960  imasaddval  12961  imasaddf  12962  qusaddval  12978  qusaddf  12979  ismgm  13000  plusfvalg  13006  plusffng  13008  gsumpropd2  13036  gsumsplit1r  13041  gsumprval  13042  issgrp  13046  ismnddef  13059  gsumfzz  13127  gsumwsubmcl  13128  gsumwmhm  13130  gsumfzcl  13131  grppropstrg  13151  grpsubval  13178  mulgval  13252  mulgfng  13254  mulgnngsum  13257  mulg1  13259  mulgnnp1  13260  mulgnndir  13281  subgintm  13328  isnsg  13332  gsumfzreidx  13467  gsumfzsubmcl  13468  gsumfzmptfidmadd  13469  gsumfzconst  13471  gsumfzmhm  13473  fnmgp  13478  mgpvalg  13479  mgpplusgg  13480  mgpex  13481  mgpbasg  13482  mgpscag  13483  mgptsetg  13484  mgpdsg  13486  mgpress  13487  isrng  13490  issrg  13521  isring  13556  ring1  13615  oppraddg  13632  islmod  13847  rmodislmod  13907  lsssn0  13926  lss1d  13939  lssintclm  13940  sraaddgg  13996  mpocnfldadd  14117  psrplusgg  14230