Theorem plusgslid 12730

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 12708	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9143	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12643	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  ℕcn 8982  2c2 9033  ndxcnx 12615  Slot cslot 12617  +_gcplusg 12695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-plusg 12708

This theorem is referenced by:  ressplusgd  12746  rngplusgg  12754  srngplusgd  12765  lmodplusgd  12783  ipsaddgd  12795  topgrpplusgd  12815  imasex  12888  imasival  12889  imasbas  12890  imasplusg  12891  imasaddfn  12900  imasaddval  12901  imasaddf  12902  qusaddval  12918  qusaddf  12919  ismgm  12940  plusfvalg  12946  plusffng  12948  gsumpropd2  12976  gsumsplit1r  12981  gsumprval  12982  issgrp  12986  ismnddef  12999  gsumfzz  13067  gsumwsubmcl  13068  gsumwmhm  13070  gsumfzcl  13071  grppropstrg  13091  grpsubval  13118  mulgval  13192  mulgfng  13194  mulgnngsum  13197  mulg1  13199  mulgnnp1  13200  mulgnndir  13221  subgintm  13268  isnsg  13272  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzconst  13411  gsumfzmhm  13413  fnmgp  13418  mgpvalg  13419  mgpplusgg  13420  mgpex  13421  mgpbasg  13422  mgpscag  13423  mgptsetg  13424  mgpdsg  13426  mgpress  13427  isrng  13430  issrg  13461  isring  13496  ring1  13555  oppraddg  13572  islmod  13787  rmodislmod  13847  lsssn0  13866  lss1d  13879  lssintclm  13880  sraaddgg  13936  cnfldadd  14052  psrplusgg  14162