Theorem plusgslid 12817

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 12795	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9171	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12730	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℕcn 9009  2c2 9060  ndxcnx 12702  Slot cslot 12704  +_gcplusg 12782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-plusg 12795

This theorem is referenced by:  ressplusgd  12833  rngplusgg  12841  srngplusgd  12852  lmodplusgd  12870  ipsaddgd  12882  topgrpplusgd  12902  prdsplusgfval  12988  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasaddfn  13021  imasaddval  13022  imasaddf  13023  qusaddval  13039  qusaddf  13040  ismgm  13061  plusfvalg  13067  plusffng  13069  gsumpropd2  13097  gsumsplit1r  13102  gsumprval  13103  issgrp  13107  ismnddef  13122  gsumfzz  13199  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  gsumfzcl  13203  grppropstrg  13223  grpsubval  13250  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnngsum  13335  mulg1  13337  mulgnnp1  13338  mulgnndir  13359  subgintm  13406  isnsg  13410  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzconst  13549  gsumfzmhm  13551  fnmgp  13556  mgpvalg  13557  mgpplusgg  13558  mgpex  13559  mgpbasg  13560  mgpscag  13561  mgptsetg  13562  mgpdsg  13564  mgpress  13565  isrng  13568  issrg  13599  isring  13634  ring1  13693  oppraddg  13710  islmod  13925  rmodislmod  13985  lsssn0  14004  lss1d  14017  lssintclm  14018  sraaddgg  14074  mpocnfldadd  14195  psrplusgg  14312