Theorem plusgslid 12994

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 12972	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9211	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12907	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5277  ℕcn 9049  2c2 9100  ndxcnx 12879  Slot cslot 12881  +_gcplusg 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3001  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-ov 5957  df-inn 9050  df-2 9108  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-plusg 12972

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13011  rngplusgg  13019  srngplusgd  13030  lmodplusgd  13048  ipsaddgd  13060  topgrpplusgd  13080  prdsplusgfval  13166  imasex  13187  imasival  13188  imasbas  13189  imasplusg  13190  imasaddfn  13199  imasaddval  13200  imasaddf  13201  qusaddval  13217  qusaddf  13218  ismgm  13239  plusfvalg  13245  plusffng  13247  gsumpropd2  13275  gsumsplit1r  13280  gsumprval  13281  issgrp  13285  ismnddef  13300  gsumfzz  13377  gsumwsubmcl  13378  gsumwmhm  13380  gsumfzcl  13381  grppropstrg  13401  grpsubval  13428  mulgval  13508  mulgfng  13510  mulgnngsum  13513  mulg1  13515  mulgnnp1  13516  mulgnndir  13537  subgintm  13584  isnsg  13588  gsumfzreidx  13723  gsumfzsubmcl  13724  gsumfzmptfidmadd  13725  gsumfzconst  13727  gsumfzmhm  13729  fnmgp  13734  mgpvalg  13735  mgpplusgg  13736  mgpex  13737  mgpbasg  13738  mgpscag  13739  mgptsetg  13740  mgpdsg  13742  mgpress  13743  isrng  13746  issrg  13777  isring  13812  ring1  13871  oppraddg  13888  islmod  14103  rmodislmod  14163  lsssn0  14182  lss1d  14195  lssintclm  14196  sraaddgg  14252  mpocnfldadd  14373  psrplusgg  14490