Theorem plusgslid 13153

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13131	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9280	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13065	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  ℕcn 9118  2c2 9169  ndxcnx 13037  Slot cslot 13039  +_gcplusg 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-plusg 13131

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13170  rngplusgg  13178  srngplusgd  13189  lmodplusgd  13207  ipsaddgd  13219  topgrpplusgd  13239  prdsplusgfval  13325  imasex  13346  imasival  13347  imasbas  13348  imasplusg  13349  imasaddfn  13358  imasaddval  13359  imasaddf  13360  qusaddval  13376  qusaddf  13377  ismgm  13398  plusfvalg  13404  plusffng  13406  gsumpropd2  13434  gsumsplit1r  13439  gsumprval  13440  issgrp  13444  ismnddef  13459  gsumfzz  13536  gsumwsubmcl  13537  gsumwmhm  13539  gsumfzcl  13540  grppropstrg  13560  grpsubval  13587  mulgval  13667  mulgfng  13669  mulgnngsum  13672  mulg1  13674  mulgnnp1  13675  mulgnndir  13696  subgintm  13743  isnsg  13747  gsumfzreidx  13882  gsumfzsubmcl  13883  gsumfzmptfidmadd  13884  gsumfzconst  13886  gsumfzmhm  13888  fnmgp  13893  mgpvalg  13894  mgpplusgg  13895  mgpex  13896  mgpbasg  13897  mgpscag  13898  mgptsetg  13899  mgpdsg  13901  mgpress  13902  isrng  13905  issrg  13936  isring  13971  ring1  14030  oppraddg  14047  islmod  14263  rmodislmod  14323  lsssn0  14342  lss1d  14355  lssintclm  14356  sraaddgg  14412  mpocnfldadd  14533  psrplusgg  14650