Theorem plusgslid 13317

Description: Slot property of +_g. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
plusgslid	⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem plusgslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plusg 13295	. 2 ⊢ +g = Slot 2
2		2nn 9398	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13229	1 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  ℕcn 9236  2c2 9287  ndxcnx 13201  Slot cslot 13203  +_gcplusg 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9237  df-2 9295  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-plusg 13295

This theorem is referenced by:  ressplusgd  13334  rngplusgg  13342  srngplusgd  13353  lmodplusgd  13371  ipsaddgd  13383  topgrpplusgd  13403  prdsplusgfval  13489  imasex  13510  imasival  13511  imasbas  13512  imasplusg  13513  imasaddfn  13522  imasaddval  13523  imasaddf  13524  qusaddval  13540  qusaddf  13541  ismgm  13562  plusfvalg  13568  plusffng  13570  gsumpropd2  13598  gsumsplit1r  13603  gsumprval  13604  issgrp  13608  ismnddef  13623  gsumfzz  13700  gsumwsubmcl  13701  gsumwmhm  13703  gsumfzcl  13704  grppropstrg  13724  grpsubval  13751  mulgval  13831  mulgfng  13833  mulgnngsum  13836  mulg1  13838  mulgnnp1  13839  mulgnndir  13860  subgintm  13907  isnsg  13911  gsumfzreidx  14046  gsumfzsubmcl  14047  gsumfzmptfidmadd  14048  gsumfzconst  14050  gsumfzmhm  14052  fnmgp  14058  mgpvalg  14059  mgpplusgg  14060  mgpex  14061  mgpbasg  14062  mgpscag  14063  mgptsetg  14064  mgpdsg  14066  mgpress  14067  isrng  14070  issrg  14101  isring  14136  ring1  14195  oppraddg  14212  islmod  14431  rmodislmod  14491  lsssn0  14510  lss1d  14523  lssintclm  14524  sraaddgg  14580  mpocnfldadd  14701  psrplusgg  14825  gfsumval  16853  gsumgfsumlem  16856