ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omfnex GIF version

Theorem omfnex 6396
Description: The characteristic function for ordinal multiplication is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omfnex (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem omfnex
StepHypRef Expression
1 vex 2715 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 oaexg 6395 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
31, 2mpan 421 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
43ralrimivw 2531 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ V (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
5 eqid 2157 . . 3 (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))
65fnmpt 5296 . 2 (∀𝑥 ∈ V (𝑥 +o 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
74, 6syl 14 1 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2128  wral 2435  Vcvv 2712  cmpt 4025   Fn wfn 5165  (class class class)co 5824   +o coa 6360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367
This theorem is referenced by:  fnom  6397  omexg  6398  omv  6402  omv2  6412
  Copyright terms: Public domain W3C validator