ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  omfnex GIF version

Theorem omfnex 6311
Description: The characteristic function for ordinal multiplication is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
omfnex (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem omfnex
StepHypRef Expression
1 vex 2661 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 oaexg 6310 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
31, 2mpan 418 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
43ralrimivw 2481 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ V (𝑥 +o 𝐴) ∈ V)
5 eqid 2115 . . 3 (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))
65fnmpt 5217 . 2 (∀𝑥 ∈ V (𝑥 +o 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
74, 6syl 14 1 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) Fn V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1463  wral 2391  Vcvv 2658  cmpt 3957   Fn wfn 5086  (class class class)co 5740   +o coa 6276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283
This theorem is referenced by:  fnom  6312  omexg  6313  omv  6317  omv2  6327
  Copyright terms: Public domain W3C validator