Theorem ipndxnmulrndx 12924

Description: The slot for the inner product is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipndxnmulrndx	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem ipndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9092	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3lt8 9213	. . 3 ⊢ 3 < 8
3	1, 2	gtneii 8150	. 2 ⊢ 8 ≠ 3
4		ipndx 12919	. . 3 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
5		mulrndx 12880	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
6	4, 5	neeq12i 2392	. 2 ⊢ ((·𝑖‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 8 ≠ 3)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2375  ‘cfv 5268  3c3 9070  8c8 9075  ndxcnx 12748  ._rcmulr 12829  ·_𝑖cip 12833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-ov 5937  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-mulr 12842  df-ip 12846

This theorem is referenced by:  sramulrg  14121