Theorem vscandxnplusgndx 13067

Description: The slot for the scalar product is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
vscandxnplusgndx	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Proof of Theorem vscandxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9126	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt6 9239	. . 3 ⊢ 2 < 6
3	1, 2	gtneii 8188	. 2 ⊢ 6 ≠ 2
4		vscandx 13064	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		plusgndx 13016	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
6	4, 5	neeq12i 2394	. 2 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 6 ≠ 2)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2377  ‘cfv 5280  2c2 9107  6c6 9111  ndxcnx 12904  +_gcplusg 12984   ·_𝑠 cvsca 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-plusg 12997  df-vsca 13001

This theorem is referenced by:  rmodislmod  14188  sraaddgg  14277  zlmplusgg  14467