Theorem vscandxnplusgndx 12934

Description: The slot for the scalar product is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
vscandxnplusgndx	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Proof of Theorem vscandxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9105	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt6 9218	. . 3 ⊢ 2 < 6
3	1, 2	gtneii 8167	. 2 ⊢ 6 ≠ 2
4		vscandx 12931	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		plusgndx 12883	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
6	4, 5	neeq12i 2392	. 2 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 6 ≠ 2)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2375  ‘cfv 5270  2c2 9086  6c6 9090  ndxcnx 12771  +_gcplusg 12851   ·_𝑠 cvsca 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-plusg 12864  df-vsca 12868

This theorem is referenced by:  rmodislmod  14055  sraaddgg  14144  zlmplusgg  14334