Theorem scandxnplusgndx 13037

Description: The slot for the scalar field is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
scandxnplusgndx	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Proof of Theorem scandxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9119	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt5 9227	. . 3 ⊢ 2 < 5
3	1, 2	gtneii 8181	. 2 ⊢ 5 ≠ 2
4		scandx 13033	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
5		plusgndx 12991	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
6	4, 5	neeq12i 2394	. 2 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 5 ≠ 2)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2377  ‘cfv 5277  2c2 9100  5c5 9103  ndxcnx 12879  +_gcplusg 12959  Scalarcsca 12962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-ov 5957  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-plusg 12972  df-sca 12975

This theorem is referenced by:  mgpscag  13739  sraaddgg  14252  zlmplusgg  14442