Theorem ipndxnplusgndx 13166

Description: The slot for the inner product is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ipndxnplusgndx	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Proof of Theorem ipndxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9143	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		2lt8 9269	. . 3 ⊢ 2 < 8
3	1, 2	gtneii 8205	. 2 ⊢ 8 ≠ 2
4		ipndx 13162	. . 3 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
5		plusgndx 13102	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
6	4, 5	neeq12i 2395	. 2 ⊢ ((·𝑖‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 8 ≠ 2)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (+g‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2378  ‘cfv 5291  2c2 9124  8c8 9130  ndxcnx 12990  +_gcplusg 13070  ·_𝑖cip 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-ov 5972  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-ltxr 8149  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-plusg 13083  df-ip 13088

This theorem is referenced by:  sraaddgg  14363