Theorem vscandxnmulrndx 12634

Description: The slot for the scalar product is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
vscandxnmulrndx	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem vscandxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9007	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		3lt6 9114	. . 3 ⊢ 3 < 6
3	1, 2	gtneii 8067	. 2 ⊢ 6 ≠ 3
4		vscandx 12630	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		mulrndx 12603	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
6	4, 5	neeq12i 2374	. 2 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 6 ≠ 3)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2357  ‘cfv 5228  3c3 8985  6c6 8988  ndxcnx 12473  ._rcmulr 12552   ·_𝑠 cvsca 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-mulr 12565  df-vsca 12568

This theorem is referenced by:  sramulrg  13630  zlmmulrg  13789