Theorem slotstnscsi 13268

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9212	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 9334	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 8265	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 13259	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 13224	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 9214	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 9333	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 8265	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 13230	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 9218	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 9331	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 8265	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 13242	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1199	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1002   ≠ wne 2400  ‘cfv 5324  5c5 9187  6c6 9188  8c8 9190  9c9 9191  ndxcnx 13069  Scalarcsca 13153   ·_𝑠 cvsca 13154  ·_𝑖cip 13155  TopSetcts 13156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-ip 13168  df-tset 13169

This theorem is referenced by:  sratsetg  14449