Theorem slotstnscsi 13296

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9222	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 9344	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 8275	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 13287	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 13252	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 9224	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 9343	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 8275	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 13258	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 9228	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 9341	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 8275	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 13270	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1201	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1004   ≠ wne 2402  ‘cfv 5326  5c5 9197  6c6 9198  8c8 9200  9c9 9201  ndxcnx 13097  Scalarcsca 13181   ·_𝑠 cvsca 13182  ·_𝑖cip 13183  TopSetcts 13184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-sca 13194  df-vsca 13195  df-ip 13196  df-tset 13197

This theorem is referenced by:  sratsetg  14478