Theorem slotstnscsi 12644

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 8996	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 9117	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 8051	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 12635	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 12603	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 8998	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 9116	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 8051	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 12609	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 9002	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 9114	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 8051	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 12621	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1175	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 978   ≠ wne 2347  ‘cfv 5216  5c5 8971  6c6 8972  8c8 8974  9c9 8975  ndxcnx 12453  Scalarcsca 12533   ·_𝑠 cvsca 12534  ·_𝑖cip 12535  TopSetcts 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sca 12546  df-vsca 12547  df-ip 12548  df-tset 12549

This theorem is referenced by: (None)