Theorem slotstnscsi 13492

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9333	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 9455	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 8385	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 13483	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 13448	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 9335	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 9454	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 8385	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 13454	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 9339	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 9452	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 8385	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 13466	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1202	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   ≠ wne 2414  ‘cfv 5357  5c5 9308  6c6 9309  8c8 9311  9c9 9312  ndxcnx 13293  Scalarcsca 13377   ·_𝑠 cvsca 13378  ·_𝑖cip 13379  TopSetcts 13380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393

This theorem is referenced by:  sratsetg  14719