Theorem slotstnscsi 12655

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot TopSet. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotstnscsi	⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotstnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9000	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt9 9121	. . . 4 ⊢ 5 < 9
3	1, 2	gtneii 8055	. . 3 ⊢ 9 ≠ 5
4		tsetndx 12646	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5		scandx 12611	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 9 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		6re 9002	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
9		6lt9 9120	. . . 4 ⊢ 6 < 9
10	8, 9	gtneii 8055	. . 3 ⊢ 9 ≠ 6
11		vscandx 12617	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
12	4, 11	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 9 ≠ 6)
13	10, 12	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
14		8re 9006	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
15		8lt9 9118	. . . 4 ⊢ 8 < 9
16	14, 15	gtneii 8055	. . 3 ⊢ 9 ≠ 8
17		ipndx 12629	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
18	4, 17	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 9 ≠ 8)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
20	7, 13, 19	3pm3.2i 1175	1 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 978   ≠ wne 2347  ‘cfv 5218  5c5 8975  6c6 8976  8c8 8978  9c9 8979  ndxcnx 12461  Scalarcsca 12541   ·_𝑠 cvsca 12542  ·_𝑖cip 12543  TopSetcts 12544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-ip 12556  df-tset 12557

This theorem is referenced by: (None)