Theorem vscandxnscandx 13079

Description: The slot for the scalar product is not the slot for the scalar field in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
vscandxnscandx	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)

Proof of Theorem vscandxnscandx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9145	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		5lt6 9246	. . 3 ⊢ 5 < 6
3	1, 2	gtneii 8198	. 2 ⊢ 6 ≠ 5
4		vscandx 13074	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
5		scandx 13068	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6	4, 5	neeq12i 2394	. 2 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 6 ≠ 5)
7	3, 6	mpbir 146	1 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2377  ‘cfv 5285  5c5 9120  6c6 9121  ndxcnx 12914  Scalarcsca 12997   ·_𝑠 cvsca 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-sca 13010  df-vsca 13011

This theorem is referenced by:  rmodislmod  14198  srascag  14289  zlmsca  14479