Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumlessdc GIF version

Theorem isumlessdc 10953
 Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumless.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumless.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumless.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumless.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumless.dc (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
isumless.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumless.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
isumless.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumlessdc (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumlessdc
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑍)
2 isumless.dc . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
31sselda 3028 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
4 isumless.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
54recnd 7579 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
63, 5syldan 277 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2447 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
8 isumless.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 isumless.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
109eqimssi 3083 . . . . . 6 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
1110a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
129eleq2i 2155 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1413orcd 688 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
15 df-dc 782 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝑍 ↔ (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑘𝑍)
1716rgen 2429 . . . . . 6 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍
1817a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍)
198, 11, 183jca 1124 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍))
2019orcd 688 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
211, 2, 7, 20isumss2 10848 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
23 isumless.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
2423, 4eqeltrd 2165 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2524adantr 271 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
26 0red 7552 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℝ)
272r19.21bi 2462 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
2825, 26, 27ifcldadc 3426 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℝ)
29 eleq1w 2149 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
30 fveq2 5320 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
3129, 30ifbieq1d 3419 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
32 eqid 2089 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0)) = (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))
3331, 32fvmptg 5395 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) ∈ ℝ) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
3422, 28, 33syl2anc 404 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
3523ifeq1d 3414 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3634, 35eqtrd 2121 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3735, 28eqeltrrd 2166 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
384leidd 8055 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝐵)
39 isumless.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
40 breq1 3856 . . . . 5 (𝐵 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (𝐵𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
41 breq1 3856 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
4240, 41ifbothdc 3429 . . . 4 ((𝐵𝐵 ∧ 0 ≤ 𝐵DECID 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
4338, 39, 27, 42syl3anc 1175 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
44 isumless.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4513, 27sylan2 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
469, 8, 44, 1, 45, 36, 6fsum3cvg3 10852 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))) ∈ dom ⇝ )
47 isumless.8 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
489, 8, 36, 37, 23, 4, 43, 46, 47isumle 10952 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
4921, 48eqbrtrd 3873 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 665  DECID wdc 781   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360   ⊆ wss 3002  ifcif 3399   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907  dom cdm 4454  ‘cfv 5030  Fincfn 6513  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413   + caddc 7416   ≤ cle 7586  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  seqcseq 9915   ⇝ cli 10729  Σcsu 10805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-sup 6735  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806 This theorem is referenced by:  mertenslemi1  10992
 Copyright terms: Public domain W3C validator