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Theorem fsummulc2 11455
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fsummulc2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fsummulc2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
21mul01d 8349 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· 0) = 0)
3 sumeq1 11362 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
4 sum0 11395 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
53, 4eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 0)
65oveq2d 5890 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝐢 Β· 0))
7 sumeq1 11362 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡))
8 sum0 11395 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… (𝐢 Β· 𝐡) = 0
97, 8eqtrdi 2226 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) = 0)
106, 9eqeq12d 2192 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) ↔ (𝐢 Β· 0) = 0))
112, 10syl5ibrcom 157 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
12 addcl 7935 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
1312adantl 277 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
141ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
16 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
1714, 15, 16adddid 7981 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 Β· (𝑒 + 𝑣)) = ((𝐢 Β· 𝑒) + (𝐢 Β· 𝑣)))
18 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
19 nnuz 9562 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2018, 19eleqtrdi 2270 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
21 elnnuz 9563 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ β„• ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2221biimpri 133 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
2322adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
24 f1of 5461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2524ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2625ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
27 1zzd 9279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 1 ∈ β„€)
2818ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
2928nnzd 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
30 eluzelz 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
3130ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
3227, 29, 313jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€ ∧ 𝑒 ∈ β„€))
33 eluzle 9539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ≀ 𝑒)
3433ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 1 ≀ 𝑒)
35 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄))
3634, 35jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (1 ≀ 𝑒 ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)))
37 elfz2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) ↔ ((1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€ ∧ 𝑒 ∈ β„€) ∧ (1 ≀ 𝑒 ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄))))
3832, 36, 37sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑒 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))
39 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑒 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘’)))
4026, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘’)))
4126, 38ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (π‘“β€˜π‘’) ∈ 𝐴)
42 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4342ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
4443ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
45 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅
4645nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
47 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘’) β†’ 𝐡 = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅)
4847eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘’) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4946, 48rspc 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘“β€˜π‘’) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
5041, 44, 49sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
51 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
5251fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜π‘’) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘’)) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅)
5341, 50, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘’)) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅)
5453, 50eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘’)) ∈ β„‚)
5540, 54eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) ∈ β„‚)
56 0cnd 7949 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5723nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
5818adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
5958nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€)
60 zdcle 9328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ DECID 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄))
6157, 59, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ DECID 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄))
6255, 56, 61ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) ∈ β„‚)
63 breq1 4006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑒 β†’ (𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄) ↔ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)))
64 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑒 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’))
6563, 64ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑒 β†’ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
66 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))
6765, 66fvmptg 5592 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ β„• ∧ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
6823, 62, 67syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
6968, 62eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) ∈ β„‚)
70 csbov2g 5915 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘’) ∈ 𝐴 β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡) = (𝐢 Β· ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅))
7141, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡) = (𝐢 Β· ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅))
7235iftrued 3541 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’))
73 fvco3 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑒 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘’)))
7426, 38, 73syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘’)))
751ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7675, 50mulcld 7977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (𝐢 Β· ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ β„‚)
7771, 76eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
78 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))
7978fvmpts 5594 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜π‘’) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘’)) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡))
8041, 77, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘’)) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡))
8172, 74, 803eqtrd 2214 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œ(𝐢 Β· 𝐡))
8235iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’))
8382, 40, 533eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅)
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)) = (𝐢 Β· ⦋(π‘“β€˜π‘’) / π‘˜β¦Œπ΅))
8571, 81, 843eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)))
861ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8786mul01d 8349 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (𝐢 Β· 0) = 0)
88 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄))
8988iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = 0)
9089oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)) = (𝐢 Β· 0))
9188iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = 0)
9287, 90, 913eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)))
93 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄) β†’ (𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄) ∨ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)))
9461, 93syl 14 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄) ∨ Β¬ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)))
9585, 92, 94mpjaodan 798 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) = (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)))
9680, 77eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘’)) ∈ β„‚)
9774, 96eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) ∧ 𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’) ∈ β„‚)
9897, 56, 61ifcldadc 3563 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) ∈ β„‚)
99 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑒 β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’))
10063, 99ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑒 β†’ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
101 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))
102100, 101fvmptg 5592 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ β„• ∧ if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
10323, 98, 102syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) = if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0))
10468oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (𝐢 Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’)) = (𝐢 Β· if(𝑒 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘’), 0)))
10595, 103, 1043eqtr4d 2220 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’) = (𝐢 Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0))β€˜π‘’)))
106 mulcl 7937 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ β„‚)
107106adantl 277 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ β„‚)
1081adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
10913, 17, 20, 69, 105, 107, 108seq3distr 10512 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)) = (𝐢 Β· (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄))))
110 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
111 simprr 531 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
1121adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
113112, 42mulcld 7977 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
114113fmpttd 5671 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
115114adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)):π΄βŸΆβ„‚)
116115ffvelcdmda 5651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
117 fvco3 5587 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
11825, 117sylan 283 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
119110, 18, 111, 116, 118fsum3 11394 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
120 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
12142fmpttd 5671 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
122121adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
123122ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
124 fvco3 5587 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
12525, 124sylan 283 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
126120, 18, 111, 123, 125fsum3 11394 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
127126oveq2d 5890 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄))))
128109, 119, 1273eqtr4rd 2221 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š))
129 sumfct 11381 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
13043, 129syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
131130oveq2d 5890 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
132131adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š)) = (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
133113ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
134 sumfct 11381 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡) ∈ β„‚ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
135133, 134syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
136135adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐢 Β· 𝐡))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
137128, 132, 1363eqtr3d 2218 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
138137expr 375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
139138exlimdv 1819 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
140139expimpd 363 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡)))
141 fsummulc2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
142 fz1f1o 11382 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
143141, 142syl 14 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
14411, 140, 143mpjaod 718 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (𝐢 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  β¦‹csb 3057  βˆ…c0 3422  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   ∘ ccom 4630  βŸΆwf 5212  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   ≀ cle 7992  β„•cn 8918  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444  β™―chash 10754  Ξ£csu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  fsummulc1  11456  fsumneg  11458  fsum2mul  11460  cvgratnnlemabsle  11534  mertensabs  11544  eirraplem  11783
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