ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  p1modz1 GIF version

Theorem p1modz1 11702
Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
p1modz1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 11700 . . 3 (𝑀𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 0red 7882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 7896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
62, 3, 53jca 1162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7 0lt1 8007 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
87a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
98anim1i 338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10 lttr 7954 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
116, 9, 10sylc 62 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1211ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13 elnnz 9183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1413simplbi2 383 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1512, 14syld 45 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1615adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1716imp 123 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 dvdsmod0 11701 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
1917, 18sylan 281 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
2019ex 114 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21 oveq1 5834 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 8953 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2206 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
2423oveq1d 5842 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
2524adantl 275 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26 zq 9542 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
2726ad3antlr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
28 1z 9199 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
29 zq 9542 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 1 ∈ ℚ)
31 zq 9542 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
3231ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 𝑀 ∈ ℚ)
3311ad4ant13 505 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 0 < 𝑀)
34 modqaddmod 10272 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3527, 30, 32, 33, 34syl22anc 1221 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3631adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
37 q1mod 10265 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3836, 37sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3938adantr 274 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
4025, 35, 393eqtr3d 2198 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
4140ex 114 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4220, 41syld 45 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4342ex 114 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
4443com23 78 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
451, 44mpcom 36 . 2 (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4645imp 123 1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  cr 7734  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   < clt 7915  cn 8839  cz 9173  cq 9535   mod cmo 10231  cdvds 11695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-q 9536  df-rp 9568  df-fl 10179  df-mod 10232  df-dvds 11696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator