Theorem p1modz1 12435

Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
p1modz1	⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 12433	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		0red 8240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 8254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4		zre 9544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2, 3, 5	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7		0lt1 8365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
9	8	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10		lttr 8312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
11	6, 9, 10	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
12	11	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13		elnnz 9550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	13	simplbi2 385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
15	12, 14	syld 45	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
17	16	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18		dvdsmod0 12434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
19	17, 18	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
20	19	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21		oveq1 6035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 9316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
24	23	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26		zq 9921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
27	26	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
28		1z 9566	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		zq 9921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 1 ∈ ℚ)
31		zq 9921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
32	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 𝑀 ∈ ℚ)
33	11	ad4ant13 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → 0 < 𝑀)
34		modqaddmod 10688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
35	27, 30, 32, 33, 34	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
36	31	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℚ)
37		q1mod 10681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
40	25, 35, 39	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
41	40	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
42	20, 41	syld 45	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
43	42	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
44	43	com23 78	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
45	1, 44	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
46	45	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273  ℕcn 9202  ℤcz 9540  ℚcq 9914   mod cmo 10647   ∥ cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  lgslem4  15822