Theorem cos01gt0 12474

Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 8289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 10288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 11086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7	6	recnd 8318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8		2cn 9325	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		3cn 9329	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ap0 9350	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
12		div12ap 8985	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
13	8, 11, 12	mp3an13 1365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15		2z 9622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		expgt0 10958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
17	15, 16	mp3an2 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18	17	3adant3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
19	4, 18	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20		2lt3 9425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
21		2re 9324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		3re 9328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3pos 9348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
24	21, 22, 22, 23	ltdiv1ii 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
25	20, 24	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) < (3 / 3)
26	9, 10	dividapi 9036	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / 3) = 1
27	25, 26	breqtri 4139	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / 3) < 1
28	21, 22, 10	redivclapi 9070	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
29		ltmul2 9147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
30	28, 2, 29	mp3an12 1364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
31	27, 30	mpbii 148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
32	6, 19, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
33	7	mulridd 8307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
34	32, 33	breqtrd 4140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
35	14, 34	eqbrtrd 4136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36		0re 8290	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		ltle 8377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
38	36, 37	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
39	38	imdistani 445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40		le2sq2 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
41	2, 40	mpanr1 437	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
42	39, 41	stoic3 1476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
43	4, 42	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44		sq1 11019	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
45	43, 44	breqtrdi 4155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46		redivclap 9022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
47	22, 10, 46	mp3an23 1366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
48	6, 47	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49		remulcl 8271	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
50	21, 48, 49	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51		ltletr 8379	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
52	2, 51	mp3an3 1363	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
53	50, 6, 52	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
54	35, 45, 53	mp2and 433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55		posdif 8746	. . . 4 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
56	50, 2, 55	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
57	54, 56	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58		cos01bnd 12469	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
59	58	simpld 112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60		resubcl 8553	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
61	2, 50, 60	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
62	5	recoscld 12435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63		lttr 8363	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
64	36, 61, 62, 63	mp3an2i 1379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
65	57, 59, 64	mp2and 433	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  3c3 9306  ℤcz 9594  (,]cioc 10241  ↑cexp 10924  cosccos 12356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-cos 12362

This theorem is referenced by:  sin02gt0  12475  sincos1sgn  12476  tangtx  15815