ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 GIF version

Theorem cos01gt0 11773
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 8007 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
2 1re 7959 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
3 elioc2 9939 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1012 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 10683 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76recnd 7989 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 2cn 8993 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
9 3cn 8997 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
10 3ap0 9018 . . . . . . . 8 3 # 0
119, 10pm3.2i 272 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 # 0)
12 div12ap 8654 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 # 0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1328 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
147, 13syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
15 2z 9284 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
16 expgt0 10556 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
1715, 16mp3an2 1325 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
18173adant3 1017 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
194, 18sylbi 121 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
20 2lt3 9092 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 8992 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
22 3re 8996 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
23 3pos 9016 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 8889 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 โ†” (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 145 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividapi 8705 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 4030 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivclapi 8739 . . . . . . . . 9 (2 / 3) โˆˆ โ„
29 ltmul2 8816 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1327 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3127, 30mpbii 148 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
326, 19, 31syl2anc 411 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
337mulridd 7977 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท 1) = (๐ดโ†‘2))
3432, 33breqtrd 4031 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < (๐ดโ†‘2))
3514, 34eqbrtrd 4027 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2))
36 0re 7960 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
37 ltle 8048 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3836, 37mpan 424 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3938imdistani 445 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
40 le2sq2 10599 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
412, 40mpanr1 437 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
4239, 41stoic3 1431 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
434, 42sylbi 121 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
44 sq1 10617 . . . . 5 (1โ†‘2) = 1
4543, 44breqtrdi 4046 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1)
46 redivclap 8691 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 # 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
4722, 10, 46mp3an23 1329 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
486, 47syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
49 remulcl 7942 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
5021, 48, 49sylancr 414 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
51 ltletr 8050 . . . . . 6 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1326 . . . . 5 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 433 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1)
55 posdif 8415 . . . 4 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 413 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5754, 56mpbid 147 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
58 cos01bnd 11769 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
5958simpld 112 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด))
60 resubcl 8224 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
612, 50, 60sylancr 414 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
625recoscld 11735 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
63 lttr 8034 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1342 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6557, 59, 64mp2and 433 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  โ„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819  โ„*cxr 7994   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   โˆ’ cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  2c2 8973  3c3 8974  โ„คcz 9256  (,]cioc 9892  โ†‘cexp 10522  cosccos 11656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-cos 11662
This theorem is referenced by:  sin02gt0  11774  sincos1sgn  11775  tangtx  14447
  Copyright terms: Public domain W3C validator