Theorem cos01gt0 12513

Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8366	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 8319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 10321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 11120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7	6	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8		2cn 9358	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9		3cn 9362	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		3ap0 9383	. . . . . . . 8 ⊢ 3 # 0
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
12		div12ap 9018	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
13	8, 11, 12	mp3an13 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15		2z 9655	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
16		expgt0 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
17	15, 16	mp3an2 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18	17	3adant3 1048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
19	4, 18	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20		2lt3 9458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
21		2re 9357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		3re 9361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3pos 9381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
24	21, 22, 22, 23	ltdiv1ii 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
25	20, 24	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) < (3 / 3)
26	9, 10	dividapi 9069	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 / 3) = 1
27	25, 26	breqtri 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / 3) < 1
28	21, 22, 10	redivclapi 9103	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
29		ltmul2 9180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
30	28, 2, 29	mp3an12 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
31	27, 30	mpbii 148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
32	6, 19, 31	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
33	7	mulridd 8337	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
34	32, 33	breqtrd 4154	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
35	14, 34	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36		0re 8320	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		ltle 8407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
38	36, 37	mpan 428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
39	38	imdistani 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40		le2sq2 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
41	2, 40	mpanr1 441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
42	39, 41	stoic3 1480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
43	4, 42	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44		sq1 11053	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
45	43, 44	breqtrdi 4169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46		redivclap 9055	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 # 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
47	22, 10, 46	mp3an23 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
48	6, 47	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49		remulcl 8301	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
50	21, 48, 49	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51		ltletr 8409	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
52	2, 51	mp3an3 1367	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
53	50, 6, 52	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
54	35, 45, 53	mp2and 437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55		posdif 8777	. . . 4 ⊢ (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
56	50, 2, 55	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
57	54, 56	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58		cos01bnd 12508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
59	58	simpld 112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60		resubcl 8584	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
61	2, 50, 60	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
62	5	recoscld 12474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63		lttr 8393	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
64	36, 61, 62, 63	mp3an2i 1383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
65	57, 59, 64	mp2and 437	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996  2c2 9338  3c3 9339  ℤcz 9627  (,]cioc 10274  ↑cexp 10958  cosccos 12395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-ioc 10278  df-ico 10279  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-cos 12401

This theorem is referenced by:  sin02gt0  12514  sincos1sgn  12515  tangtx  15922