ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 GIF version

Theorem cos01gt0 11784
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 8018 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
2 1re 7970 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
3 elioc2 9950 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1013 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 10694 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76recnd 8000 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 2cn 9004 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
9 3cn 9008 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„‚
10 3ap0 9029 . . . . . . . 8 3 # 0
119, 10pm3.2i 272 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 # 0)
12 div12ap 8665 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 # 0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1338 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
147, 13syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
15 2z 9295 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
16 expgt0 10567 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
1715, 16mp3an2 1335 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
18173adant3 1018 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
194, 18sylbi 121 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (๐ดโ†‘2))
20 2lt3 9103 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 9003 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
22 3re 9007 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
23 3pos 9027 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 8900 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 โ†” (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 145 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividapi 8716 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 4040 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivclapi 8750 . . . . . . . . 9 (2 / 3) โˆˆ โ„
29 ltmul2 8827 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1337 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((2 / 3) < 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1)))
3127, 30mpbii 148 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘2)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
326, 19, 31syl2anc 411 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < ((๐ดโ†‘2) ยท 1))
337mulridd 7988 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท 1) = (๐ดโ†‘2))
3432, 33breqtrd 4041 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) < (๐ดโ†‘2))
3514, 34eqbrtrd 4037 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2))
36 0re 7971 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
37 ltle 8059 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3836, 37mpan 424 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
3938imdistani 445 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
40 le2sq2 10610 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
412, 40mpanr1 437 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
4239, 41stoic3 1441 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
434, 42sylbi 121 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (1โ†‘2))
44 sq1 10628 . . . . 5 (1โ†‘2) = 1
4543, 44breqtrdi 4056 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1)
46 redivclap 8702 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 # 0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
4722, 10, 46mp3an23 1339 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
486, 47syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„)
49 remulcl 7953 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 3) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
5021, 48, 49sylancr 414 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„)
51 ltletr 8061 . . . . . 6 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1336 . . . . 5 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < (๐ดโ†‘2) โˆง (๐ดโ†‘2) โ‰ค 1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 433 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1)
55 posdif 8426 . . . 4 (((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 413 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
5754, 56mpbid 147 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
58 cos01bnd 11780 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
5958simpld 112 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด))
60 resubcl 8235 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
612, 50, 60sylancr 414 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„)
625recoscld 11746 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
63 lttr 8045 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6436, 61, 62, 63mp3an2i 1352 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((0 < (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) โˆง (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด)))
6557, 59, 64mp2and 433 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  โ„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830  โ„*cxr 8005   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   โˆ’ cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  2c2 8984  3c3 8985  โ„คcz 9267  (,]cioc 9903  โ†‘cexp 10533  cosccos 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ioc 9907  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-cos 11673
This theorem is referenced by:  sin02gt0  11785  sincos1sgn  11786  tangtx  14612
  Copyright terms: Public domain W3C validator