ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recnz GIF version

Theorem recnz 9112
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
recnz ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnz
StepHypRef Expression
1 recgt1i 8624 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
21simprd 113 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
31simpld 111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
4 zgt0ge1 9080 . . . 4 ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
53, 4syl5ibcom 154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / 𝐴)))
6 1re 7733 . . . 4 1 ∈ ℝ
7 0lt1 7857 . . . . . . . 8 0 < 1
8 0re 7734 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 lttr 7806 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
108, 6, 9mp3an12 1290 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
117, 10mpani 426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
1211imdistani 441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
13 gt0ap0 8356 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
1412, 13syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
15 rerecclap 8458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1614, 15syldan 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
17 lenlt 7808 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
186, 16, 17sylancr 410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
195, 18sylibd 148 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → ¬ (1 / 𝐴) < 1))
202, 19mt2d 599 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   < clt 7768  cle 7769   # cap 8311   / cdiv 8400  cz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  halfnz  9115  facndiv  10453
  Copyright terms: Public domain W3C validator