Theorem recnz 9168

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem recnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt1i 8680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (0 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1))
2	1	simprd 113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) < 1)
3	1	simpld 111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
4		zgt0ge1 9136	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → (0 < (1 / 𝐴) ↔ 1 ≤ (1 / 𝐴)))
5	3, 4	syl5ibcom 154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → 1 ≤ (1 / 𝐴)))
6		1re 7789	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0lt1 7913	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
8		0re 7790	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		lttr 7862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
10	8, 6, 9	mp3an12 1306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
11	7, 10	mpani 427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
12	11	imdistani 442	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
13		gt0ap0 8412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 # 0)
15		rerecclap 8514	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	syldan 280	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
17		lenlt 7864	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
18	6, 16, 17	sylancr 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (1 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 1))
19	5, 18	sylibd 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℤ → ¬ (1 / 𝐴) < 1))
20	2, 19	mt2d 615	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   < clt 7824   ≤ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456  ℤcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  halfnz  9171  facndiv  10517