ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt1 GIF version

Theorem mulgt1 8589
Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulgt1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt1
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5 ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴)
21a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴))
3 0lt1 7857 . . . . . . . . 9 0 < 1
4 0re 7734 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
5 1re 7733 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6 lttr 7806 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1290 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 426 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
98adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
10 ltmul2 8582 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
1110biimpd 143 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
125, 11mp3an1 1287 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
1312exp32 362 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))))
1413impcom 124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
159, 14syld 45 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
1615impd 252 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
17 ax-1rid 7695 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1817adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
1918breq1d 3909 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
2016, 19sylibd 148 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
212, 20jcad 305 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵))))
22 remulcl 7716 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23 lttr 7806 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
245, 23mp3an1 1287 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2522, 24syldan 280 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2621, 25syld 45 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
2726imp 123 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   · cmul 7593   < clt 7768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904
This theorem is referenced by:  mulgt1d  8662  addltmul  8924  uz2mulcl  9370
  Copyright terms: Public domain W3C validator