Theorem mulgt1 9154

Description: The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mulgt1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐴))
3		0lt1 8416	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
4		0re 8290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		lttr 8363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
10		ltmul2 9147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
11	10	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
12	5, 11	mp3an1 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
13	12	exp32 365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))))
14	13	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
15	9, 14	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐴 → (1 < 𝐵 → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵))))
16	15	impd 254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵)))
17		ax-1rid 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
18	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
19	18	breq1d 4124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 1) < (𝐴 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
20	16, 19	sylibd 149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)))
21	2, 20	jcad 307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵))))
22		remulcl 8271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
23		lttr 8363	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
24	5, 23	mp3an1 1361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
25	22, 24	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝐴 · 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
26	21, 25	syld 45	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵) → 1 < (𝐴 · 𝐵)))
27	26	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-sub 8462  df-neg 8463

This theorem is referenced by:  mulgt1d  9227  addltmul  9492  uz2mulcl  9958