Theorem lttrd 8399

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 8347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ℝcr 8126   < clt 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-pre-lttrn 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemex  10609  rebtwn2z  10614  qbtwnrelemcalc  10615  expgt1  10939  ltexp2a  10953  expnlbnd2  11027  nn0ltexp2  11071  expcanlem  11077  expcan  11078  ssenneg  11204  cvg1nlemcxze  11667  cvg1nlemcau  11669  cvg1nlemres  11670  recvguniqlem  11679  resqrexlemdecn  11697  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemga  11708  qdenre  11887  reccn2ap  11998  georeclim  12199  geoisumr  12204  cvgratz  12218  efcllemp  12344  efgt1  12383  cos12dec  12454  dvdslelemd  12529  pythagtriplem13  12974  fldivp1  13046  4sqlem12  13100  nninfdclemlt  13202  ivthinclemlr  15502  ivthinclemur  15504  hovera  15512  ivthdichlem  15516  limcimolemlt  15529  reeff1olem  15636  sin0pilem1  15646  pilem3  15648  coseq0negpitopi  15701  tangtx  15703  cos02pilt1  15716  rplogcl  15744  cxplt  15781  cxple  15782  ltexp2  15806  mersenne  15865  lgsquadlem2  15951  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemlt1  16825  apdifflemf  16830