Theorem fnpfx 11305

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables 𝑠 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
2		0zd 9534	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		nn0z 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
4		swrdval 11276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1379	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
6		0z 9533	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	3, 2	zsubcld 9650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑙 − 0) ∈ ℤ)
8		fzofig 10738	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑙 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
10	9	mptexd 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
11		0ex 4221	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
13	10, 12	ifexd 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
14	5, 13	eqeltrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
16	15	rgen2 2619	. 2 ⊢ ∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
17		df-pfx 11301	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
18	17	fnmpo 6376	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V → prefix Fn (V × ℕ0))
19	16, 18	ax-mp 5	1 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ifcif 3607  ⟨cop 3676   ↦ cmpt 4155   × cxp 4729  dom cdm 4731   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  0cc0 8075   + caddc 8078   − cmin 8393  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522  ..^cfzo 10420   substr csubstr 11273   prefix cpfx 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-substr 11274  df-pfx 11301

This theorem is referenced by:  pfxclz  11307