Theorem fnpfx 11251

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables 𝑠 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
2		0zd 9484	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		nn0z 9492	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
4		swrdval 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1376	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
6		0z 9483	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	3, 2	zsubcld 9600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑙 − 0) ∈ ℤ)
8		fzofig 10687	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑙 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
10	9	mptexd 5876	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
11		0ex 4214	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
13	10, 12	ifexd 4579	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
14	5, 13	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
16	15	rgen2 2616	. 2 ⊢ ∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
17		df-pfx 11247	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
18	17	fnmpo 6362	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V → prefix Fn (V × ℕ0))
19	16, 18	ax-mp 5	1 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ifcif 3603  ⟨cop 3670   ↦ cmpt 4148   × cxp 4721  dom cdm 4723   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  0cc0 8025   + caddc 8028   − cmin 8343  ℕ₀cn0 9395  ℤcz 9472  ..^cfzo 10370   substr csubstr 11219   prefix cpfx 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-substr 11220  df-pfx 11247

This theorem is referenced by:  pfxclz  11253