Theorem fnpfx 11451

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables 𝑠 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
2		0zd 9658	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		nn0z 9666	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
4		swrdval 11422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1383	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
6		0z 9657	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	3, 2	zsubcld 9775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑙 − 0) ∈ ℤ)
8		fzofig 10871	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑙 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
10	9	mptexd 5944	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
11		0ex 4260	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
13	10, 12	ifexd 4630	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
14	5, 13	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
16	15	rgen2 2636	. 2 ⊢ ∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
17		df-pfx 11447	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
18	17	fnmpo 6438	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V → prefix Fn (V × ℕ0))
19	16, 18	ax-mp 5	1 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  dom cdm 4774   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8179   + caddc 8182   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ..^cfzo 10551   substr csubstr 11419   prefix cpfx 11446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-substr 11420  df-pfx 11447

This theorem is used by:  pfxclz  11453