Theorem fnpfx 11217

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables 𝑠 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
2		0zd 9466	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		nn0z 9474	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
4		swrdval 11188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1376	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
6		0z 9465	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	3, 2	zsubcld 9582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑙 − 0) ∈ ℤ)
8		fzofig 10662	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑙 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
10	9	mptexd 5870	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
11		0ex 4211	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
13	10, 12	ifexd 4575	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
14	5, 13	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
16	15	rgen2 2616	. 2 ⊢ ∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
17		df-pfx 11213	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
18	17	fnmpo 6354	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V → prefix Fn (V × ℕ0))
19	16, 18	ax-mp 5	1 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  ⟨cop 3669   ↦ cmpt 4145   × cxp 4717  dom cdm 4719   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  0cc0 8007   + caddc 8010   − cmin 8325  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ..^cfzo 10346   substr csubstr 11185   prefix cpfx 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-substr 11186  df-pfx 11213

This theorem is referenced by:  pfxclz  11219