Theorem fnpfx 11472

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables 𝑠 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑠 ∈ V
2		0zd 9668	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		nn0z 9676	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → 𝑙 ∈ ℤ)
4		swrdval 11443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1383	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) = if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅))
6		0z 9667	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	3, 2	zsubcld 9785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑙 − 0) ∈ ℤ)
8		fzofig 10891	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑙 − 0) ∈ ℤ) → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑙 − 0)) ∈ Fin)
10	9	mptexd 5947	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))) ∈ V)
11		0ex 4262	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → ∅ ∈ V)
13	10, 12	ifexd 4632	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → if((0..^𝑙) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^(𝑙 − 0)) ↦ (𝑠‘(𝑥 + 0))), ∅) ∈ V)
14	5, 13	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ0 → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ V ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V)
16	15	rgen2 2636	. 2 ⊢ ∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V
17		df-pfx 11468	. . 3 ⊢ prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
18	17	fnmpo 6442	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ V ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩) ∈ V → prefix Fn (V × ℕ0))
19	16, 18	ax-mp 5	1 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  dom cdm 4776   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7027  0cc0 8186   + caddc 8189   − cmin 8505  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  ..^cfzo 10567   substr csubstr 11440   prefix cpfx 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-substr 11441  df-pfx 11468

This theorem is used by:  pfxclz  11474