Theorem ccatfvalfi 11338

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfvalfi	⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem ccatfvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ V)
3		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → 𝑇 ∈ V)
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
5		0zd 9635	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 0 ∈ ℤ)
6		hashcl 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		hashcl 11198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 9603	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9745	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
12		fzofig 10847	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
14	13	mptexd 5935	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V)
15		fveq2 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
16	15	oveq1d 6090	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)))
17	16	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))))
18	15	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
19	18	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
20		fveq1 5689	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
21	15	oveq2d 6091	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
22	21	fveq2d 5694	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
23	19, 20, 22	ifbieq12d 3664	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
24	17, 23	mpteq12dv 4208	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
25		fveq2 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
26	25	oveq2d 6091	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
27	26	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
28		fveq1 5689	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29	28	ifeq2d 3656	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
30	27, 29	mpteq12dv 4208	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
31		df-concat 11337	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
32	24, 30, 31	ovmpog 6213	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
33	2, 4, 14, 32	syl3anc 1278	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3635   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  0cc0 8169   + caddc 8172   − cmin 8487  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192   ++ cconcat 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-concat 11337

This theorem is referenced by:  ccatcl  11339  ccatlen  11341  ccatval1  11343  ccatval2  11344  ccatvalfn  11347  ccatalpha  11359