Theorem ccatfvalfi 11122

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfvalfi	⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem ccatfvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ V)
3		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → 𝑇 ∈ V)
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
5		0zd 9454	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 0 ∈ ℤ)
6		hashcl 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		hashcl 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 9422	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9563	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
12		fzofig 10649	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
14	13	mptexd 5865	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V)
15		fveq2 5626	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
16	15	oveq1d 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)))
17	16	oveq2d 6016	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))))
18	15	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
19	18	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
20		fveq1 5625	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
21	15	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
22	21	fveq2d 5630	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
23	19, 20, 22	ifbieq12d 3629	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
24	17, 23	mpteq12dv 4165	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
25		fveq2 5626	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
26	25	oveq2d 6016	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
27	26	oveq2d 6016	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
28		fveq1 5625	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29	28	ifeq2d 3621	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
30	27, 29	mpteq12dv 4165	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
31		df-concat 11121	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
32	24, 30, 31	ovmpog 6138	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
33	2, 4, 14, 32	syl3anc 1271	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   ↦ cmpt 4144  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Fincfn 6885  0cc0 7995   + caddc 7998   − cmin 8313  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992   ++ cconcat 11120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-concat 11121

This theorem is referenced by:  ccatcl  11123  ccatlen  11125  ccatval1  11127  ccatval2  11128  ccatvalfn  11131