Theorem ccatfvalfi 11280

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfvalfi	⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem ccatfvalfi

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ V)
3		elex 2825	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → 𝑇 ∈ V)
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
5		0zd 9589	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 0 ∈ ℤ)
6		hashcl 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		hashcl 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
10	7, 9	nn0addcld 9557	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9698	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
12		fzofig 10794	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ Fin)
14	13	mptexd 5913	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V)
15		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
16	15	oveq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)))
17	16	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))))
18	15	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
19	18	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
20		fveq1 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
21	15	oveq2d 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
22	21	fveq2d 5674	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
23	19, 20, 22	ifbieq12d 3649	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
24	17, 23	mpteq12dv 4192	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
25		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
26	25	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
27	26	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
28		fveq1 5669	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
29	28	ifeq2d 3641	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
30	27, 29	mpteq12dv 4192	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
31		df-concat 11279	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
32	24, 30, 31	ovmpog 6188	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
33	2, 4, 14, 32	syl3anc 1274	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑇 ∈ Fin) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ifcif 3620   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  0cc0 8127   + caddc 8130   − cmin 8444  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138   ++ cconcat 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-concat 11279

This theorem is referenced by:  ccatcl  11281  ccatlen  11283  ccatval1  11285  ccatval2  11286  ccatvalfn  11289  ccatalpha  11301