Theorem prdsplusgval 13190

Description: Value of a componentwise sum in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.p	⊢ + = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem prdsplusgval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 5819	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 5384	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsplusgval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑌)
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	prdsplusg 13184	. 2 ⊢ (𝜑 → + = (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
11		fveq1 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → (𝑦‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		fveq1 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	11, 12	oveqan12d 5976	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dv 4143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑦‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
16		prdsplusgval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		prdsplusgval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	4	mptexd 5824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
19	10, 15, 16, 17, 18	ovmpod 6086	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ↦ cmpt 4113   Fn wfn 5275  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  X_scprds 13172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-ixp 6799  df-sup 7101  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-hom 13008  df-cco 13009  df-rest 13148  df-topn 13149  df-topgen 13167  df-pt 13168  df-prds 13174

This theorem is referenced by:  prdsplusgfval  13191  pwsplusgval  13202  prdsplusgsgrpcl  13321  prdssgrpd  13322  prdsplusgcl  13353  prdsidlem  13354  prdsmndd  13355  prdsinvlem  13515