Theorem mul2lt0lgt0 9834

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0lgt0	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)

Proof of Theorem mul2lt0lgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	recnd 8053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcomd 8046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
6		mul2lt0.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
7	5, 6	eqbrtrrd 4057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) < 0)
8	1, 2, 7	mul2lt0rgt0 9832	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7876  0cc0 7877   · cmul 7882   < clt 8059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-ltxr 8064  df-sub 8197  df-neg 8198  df-rp 9726

This theorem is referenced by: (None)