Theorem eqbrtrrd 3897

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eqcomd 2105	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
3		eqbrtrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)
4	2, 3	eqbrtrd 3895	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1299   class class class wbr 3875

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-v 2643  df-un 3025  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-br 3876

This theorem is referenced by:  dftpos4  6090  phpm  6688  unsnfidcex  6737  fisseneq  6749  f1finf1o  6763  prmuloclemcalc  7274  mullocprlem  7279  cauappcvgprlemladdfl  7364  caucvgprlemopl  7378  caucvgprprlemloccalc  7393  caucvgprprlemopl  7406  ltadd1sr  7472  axarch  7576  lemulge11  8482  xaddge0  9502  modqmuladdim  9981  ltexp2a  10186  leexp2a  10187  nnlesq  10237  faclbnd6  10331  facavg  10333  fiprsshashgt1  10404  cvg1nlemcxze  10594  resqrexlemover  10622  resqrexlemlo  10625  resqrexlemnmsq  10629  resqrexlemnm  10630  leabs  10686  abs3dif  10717  abs2dif  10718  maxabslemlub  10819  maxltsup  10830  bdtri  10850  xrmaxiflemab  10855  xrbdtri  10884  recn2  10925  imcn2  10926  iserex  10947  summodclem2a  10989  fsumge1  11069  isumrpcl  11102  cvgratnnlemseq  11134  cvgratnnlemsumlt  11136  mertenslemi1  11143  ege2le3  11175  efgt1p2  11199  efgt1p  11200  tanval2ap  11218  tanval3ap  11219  eirraplem  11278  divalglemnqt  11412  mulgcd  11497  dvdssqlem  11511  nn0seqcvgd  11515  mulgcddvds  11568  rpdvds  11573  pw2dvdseulemle  11637  sqrt2irraplemnn  11649  qden1elz  11675  phimullem  11693  hashgcdlem  11695  hashgcdeq  11696  ennnfonelemex  11719  lmcn2  12230  psmetge0  12259  xmetge0  12293