Theorem eqbrtrrd 4133

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eqcomd 2238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
3		eqbrtrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)
4	2, 3	eqbrtrd 4131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110

This theorem is referenced by:  dftpos4  6494  phpm  7120  unsnfidcex  7180  fisseneq  7195  f1finf1o  7217  prmuloclemcalc  7880  mullocprlem  7885  cauappcvgprlemladdfl  7970  caucvgprlemopl  7984  caucvgprprlemloccalc  7999  caucvgprprlemopl  8012  ltadd1sr  8091  suplocsrlem  8123  axarch  8206  axpre-suploclemres  8216  lemulge11  9140  mul2lt0llt0  10094  mul2lt0lgt0  10095  mul2lt0pn  10097  xaddge0  10211  modqmuladdim  10729  ltexp2a  10953  leexp2a  10954  nnlesq  11005  faclbnd6  11106  facavg  11108  bcm1n  11131  fiprsshashgt1  11182  sseqn  11203  cvg1nlemcxze  11667  resqrexlemover  11695  resqrexlemlo  11698  resqrexlemnmsq  11702  resqrexlemnm  11703  leabs  11759  abs3dif  11790  abs2dif  11791  maxabslemlub  11892  maxltsup  11903  bdtri  11925  xrmaxiflemab  11932  xrbdtri  11961  recn2  12002  imcn2  12003  iserex  12024  summodclem2a  12067  fsumge1  12147  isumrpcl  12180  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemsumlt  12214  mertenslemi1  12221  prodmodclem2a  12262  ege2le3  12357  efgt1p2  12381  efgt1p  12382  tanval2ap  12399  tanval3ap  12400  cos12dec  12454  eirraplem  12463  fsumdvds  12528  divalglemnqt  12606  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  bitscmp  12644  mulgcd  12712  dvdssqlem  12726  nn0seqcvgd  12738  mulgcddvds  12791  rpdvds  12796  isprm5  12839  pw2dvdseulemle  12864  sqrt2irraplemnn  12876  qden1elz  12902  phimullem  12922  hashgcdlem  12935  hashgcdeq  12937  pceu  12993  pcdvdstr  13025  pockthg  13055  4sqlem11  13099  ennnfonelemex  13165  znrrg  14808  lmcn2  15145  psmetge0  15196  xmetge0  15230  cnopnap  15476  suplociccex  15490  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  hoverb  15513  ivthdichlem  15516  cnplimclemr  15534  limccnp2lem  15541  dveflem  15591  efltlemlt  15639  cosq23lt0  15698  coseq0q4123  15699  cosq34lt1  15715  logdivlti  15746  lgsne0  15911  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  umgrnloopv  16109  umgredgprv  16110  upgr1een  16119  1hegrvtxdg1fi  16304  apdiff  16832  taupi  16859