Theorem eqbrtrrd 4057

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eqcomd 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
3		eqbrtrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)
4	2, 3	eqbrtrd 4055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034

This theorem is referenced by:  dftpos4  6321  phpm  6926  unsnfidcex  6981  fisseneq  6995  f1finf1o  7013  prmuloclemcalc  7632  mullocprlem  7637  cauappcvgprlemladdfl  7722  caucvgprlemopl  7736  caucvgprprlemloccalc  7751  caucvgprprlemopl  7764  ltadd1sr  7843  suplocsrlem  7875  axarch  7958  axpre-suploclemres  7968  lemulge11  8893  mul2lt0llt0  9836  mul2lt0lgt0  9837  mul2lt0pn  9839  xaddge0  9953  modqmuladdim  10459  ltexp2a  10683  leexp2a  10684  nnlesq  10735  faclbnd6  10836  facavg  10838  fiprsshashgt1  10909  cvg1nlemcxze  11147  resqrexlemover  11175  resqrexlemlo  11178  resqrexlemnmsq  11182  resqrexlemnm  11183  leabs  11239  abs3dif  11270  abs2dif  11271  maxabslemlub  11372  maxltsup  11383  bdtri  11405  xrmaxiflemab  11412  xrbdtri  11441  recn2  11482  imcn2  11483  iserex  11504  summodclem2a  11546  fsumge1  11626  isumrpcl  11659  cvgratnnlemseq  11691  cvgratnnlemsumlt  11693  mertenslemi1  11700  prodmodclem2a  11741  ege2le3  11836  efgt1p2  11860  efgt1p  11861  tanval2ap  11878  tanval3ap  11879  cos12dec  11933  eirraplem  11942  fsumdvds  12007  divalglemnqt  12085  bitsfzo  12119  mulgcd  12183  dvdssqlem  12197  nn0seqcvgd  12209  mulgcddvds  12262  rpdvds  12267  isprm5  12310  pw2dvdseulemle  12335  sqrt2irraplemnn  12347  qden1elz  12373  phimullem  12393  hashgcdlem  12406  hashgcdeq  12408  pceu  12464  pcdvdstr  12496  pockthg  12526  4sqlem11  12570  ennnfonelemex  12631  znrrg  14216  lmcn2  14516  psmetge0  14567  xmetge0  14601  cnopnap  14847  suplociccex  14861  ivthinclemlopn  14872  ivthinclemuopn  14874  hoverb  14884  ivthdichlem  14887  cnplimclemr  14905  limccnp2lem  14912  dveflem  14962  efltlemlt  15010  cosq23lt0  15069  coseq0q4123  15070  cosq34lt1  15086  logdivlti  15117  lgsne0  15279  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319  apdiff  15692  taupi  15717