Theorem eqbrtrrd 3833

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	eqcomd 2088	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
3		eqbrtrrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)
4	2, 3	eqbrtrd 3831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1285   class class class wbr 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2614  df-un 2988  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812

This theorem is referenced by:  dftpos4  5959  phpm  6510  unsnfidcex  6556  fisseneq  6566  f1finf1o  6579  prmuloclemcalc  7026  mullocprlem  7031  cauappcvgprlemladdfl  7116  caucvgprlemopl  7130  caucvgprprlemloccalc  7145  caucvgprprlemopl  7158  ltadd1sr  7224  axarch  7328  lemulge11  8220  modqmuladdim  9662  ltexp2a  9843  leexp2a  9844  nnlesq  9893  faclbnd6  9986  facavg  9988  fiprsshashgt1  10059  cvg1nlemcxze  10241  resqrexlemover  10269  resqrexlemlo  10272  resqrexlemnmsq  10276  resqrexlemnm  10277  leabs  10333  abs3dif  10364  abs2dif  10365  maxabslemlub  10466  maxltsup  10477  recn2  10528  imcn2  10529  iiserex  10550  divalglemnqt  10699  mulgcd  10784  dvdssqlem  10798  nn0seqcvgd  10802  mulgcddvds  10855  rpdvds  10860  pw2dvdseulemle  10924  sqrt2irraplemnn  10936  qden1elz  10962  phimullem  10980  hashgcdlem  10982  hashgcdeq  10983