Theorem facdiv 10812

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 0))
2		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
3	2	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
4	3	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
5	1, 4	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7		breq2 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
10	9	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
11	7, 10	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13		breq2 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
16	15	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
17	13, 16	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
18	17	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19		breq2 4034	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
20		fveq2 5555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
21	20	oveq1d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
22	21	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
24	23	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25		nngt0 9009	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26		0z 9331	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
27		nnz 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		zltnle 9366	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
29	26, 27, 28	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
30	25, 29	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
31	30	pm2.21d 620	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
34		zleloe 9367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
35	27, 33, 34	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36		nnnn0 9250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37		nn0leltp1 9383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
38	36, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
39		nn0p1nn 9282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40		nnmulcl 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44		faccl 10809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
45	44	nncnd 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
47	32	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49		nncn 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		nnap0 9013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 # 0)
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
54	53	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
55	43, 54	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
58	38, 57	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
59	46, 50, 52	divcanap4d 8817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
60	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
61	59, 60	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
62		oveq2 5927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
63	62	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
64	63	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
65	61, 64	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
67	58, 66	jaod 718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
68	35, 67	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
69	68	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
71	70	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
72	71	imp4d 352	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
73		facp1 10804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
74	73	oveq1d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
75	74	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
76	72, 75	sylibrd 169	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
77	76	exp4d 369	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
78	77	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9434	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
80	79	3imp 1195	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057   # cap 8602   / cdiv 8693  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤcz 9320  !cfa 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-fac 10800

This theorem is referenced by:  facndiv  10813  eirraplem  11923