ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facdiv GIF version

Theorem facdiv 10717
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4007 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค 0))
2 fveq2 5515 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
32oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜0) / ๐‘))
43eleq1d 2246 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
51, 4imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
65imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7 breq2 4007 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘˜))
8 fveq2 5515 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
98oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘))
109eleq1d 2246 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
117, 10imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1211imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
13 breq2 4007 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
14 fveq2 5515 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1514oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
1615eleq1d 2246 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
1713, 16imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1817imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
19 breq2 4007 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘€))
20 fveq2 5515 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘€))
2120oveq1d 5889 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘))
2221eleq1d 2246 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
2319, 22imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
2423imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
25 nngt0 8943 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
26 0z 9263 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
27 nnz 9271 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 zltnle 9298 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 0))
2926, 27, 28sylancr 414 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 0))
3025, 29mpbid 147 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค 0)
3130pm2.21d 619 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
32 peano2nn0 9215 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3332nn0zd 9372 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
34 zleloe 9299 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
3527, 33, 34syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
36 nnnn0 9182 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
37 nn0leltp1 9315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
39 nn0p1nn 9214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
40 nnmulcl 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
4139, 40sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
4241expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
4342adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
44 faccl 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4544nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4732nn0cnd 9230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
4847adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
49 nncn 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
51 nnap0 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ # 0)
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ # 0)
5346, 48, 50, 52div23apd 8784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)))
5453eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
5543, 54sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
5655imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5756com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5838, 57sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5946, 50, 52divcanap4d 8752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (!โ€˜๐‘˜))
6044adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
6159, 60eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
62 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
6362oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
6463eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6561, 64syl5ibcom 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6665a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6758, 66jaod 717 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6835, 67sylbid 150 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6968ex 115 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7069com34 83 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7170com12 30 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7271imp4d 352 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
73 facp1 10709 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
7473oveq1d 5889 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
7574eleq1d 2246 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7672, 75sylibrd 169 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7776exp4d 369 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7877a2d 26 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
796, 12, 18, 24, 31, 78nn0ind 9366 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
80793imp 1193 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   # cap 8537   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  !cfa 10704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-fac 10705
This theorem is referenced by:  facndiv  10718  eirraplem  11783
  Copyright terms: Public domain W3C validator