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Theorem facdiv 10496
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3933 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁𝑗𝑁 ≤ 0))
2 fveq2 5421 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
32oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
43eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
51, 4imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7 breq2 3933 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗𝑁𝑘))
8 fveq2 5421 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
109eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
117, 10imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13 breq2 3933 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑗𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14 fveq2 5421 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
1615eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
1713, 16imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1817imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19 breq2 3933 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝑁𝑗𝑁𝑀))
20 fveq2 5421 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
2120oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
2221eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22imbi12d 233 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
2423imbi2d 229 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25 nngt0 8757 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26 0z 9077 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
27 nnz 9085 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28 zltnle 9112 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
2926, 27, 28sylancr 410 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
3025, 29mpbid 146 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
3130pm2.21d 608 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32 peano2nn0 9029 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 9183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
34 zleloe 9113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
3527, 33, 34syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36 nnnn0 8996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 nn0leltp1 9129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
3836, 37sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
39 nn0p1nn 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40 nnmulcl 8753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4139, 40sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4241expcom 115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
4342adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44 faccl 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4544nncnd 8746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4645adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4732nn0cnd 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4847adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49 nncn 8740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 nnap0 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 # 0)
5346, 48, 50, 52div23apd 8600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
5453eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
5543, 54sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
5655imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5756com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5838, 57sylbird 169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5946, 50, 52divcanap4d 8568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
6044adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6159, 60eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
62 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
6362oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
6463eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6561, 64syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6665a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6758, 66jaod 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6835, 67sylbid 149 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6968ex 114 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7069com34 83 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7170com12 30 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7271imp4d 349 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
73 facp1 10488 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7473oveq1d 5789 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
7574eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7672, 75sylibrd 168 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7776exp4d 366 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7877a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
796, 12, 18, 24, 31, 78nn0ind 9177 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
80793imp 1175 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812  cle 7813   # cap 8355   / cdiv 8444  cn 8732  0cn0 8989  cz 9066  !cfa 10483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-fac 10484
This theorem is referenced by:  facndiv  10497  eirraplem  11494
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