Theorem facdiv 10325

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3879	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 0))
2		fveq2 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
3	2	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
4	3	eleq1d 2168	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
5	1, 4	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6	5	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7		breq2 3879	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8		fveq2 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
10	9	eleq1d 2168	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
11	7, 10	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
12	11	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13		breq2 3879	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14		fveq2 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
16	15	eleq1d 2168	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
17	13, 16	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
18	17	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19		breq2 3879	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
20		fveq2 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
21	20	oveq1d 5721	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
22	21	eleq1d 2168	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
24	23	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25		nngt0 8603	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26		0z 8917	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
27		nnz 8925	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		zltnle 8952	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
29	26, 27, 28	sylancr 408	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
30	25, 29	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
31	30	pm2.21d 589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32		peano2nn0 8869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
34		zleloe 8953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
35	27, 33, 34	syl2an 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36		nnnn0 8836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37		nn0leltp1 8969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
38	36, 37	sylan 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
39		nn0p1nn 8868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40		nnmulcl 8599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylan2 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
43	42	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44		faccl 10322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
45	44	nncnd 8592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
46	45	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
47	32	nn0cnd 8884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49		nncn 8586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
50	49	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		nnap0 8607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
52	51	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 # 0)
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
54	53	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
55	43, 54	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
56	55	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
57	56	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
58	38, 57	sylbird 169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
59	46, 50, 52	divcanap4d 8417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
60	44	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
61	59, 60	eqeltrd 2176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
62		oveq2 5714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
63	62	oveq1d 5721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
64	63	eleq1d 2168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
65	61, 64	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
66	65	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
67	58, 66	jaod 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
68	35, 67	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
69	68	ex 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
70	69	com34 83	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
71	70	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
72	71	imp4d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
73		facp1 10317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
74	73	oveq1d 5721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
75	74	eleq1d 2168	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
76	72, 75	sylibrd 168	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
77	76	exp4d 364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
78	77	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 9017	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
80	79	3imp 1143	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 670   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503   · cmul 7505   < clt 7672   ≤ cle 7673   # cap 8209   / cdiv 8293  ℕcn 8578  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906  !cfa 10312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-seqfrec 10060  df-fac 10313

This theorem is referenced by:  facndiv  10326  eirraplem  11278