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Theorem facdiv 10043
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3824 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁𝑗𝑁 ≤ 0))
2 fveq2 5268 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
32oveq1d 5628 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
43eleq1d 2153 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
51, 4imbi12d 232 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7 breq2 3824 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗𝑁𝑘))
8 fveq2 5268 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98oveq1d 5628 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
109eleq1d 2153 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
117, 10imbi12d 232 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1211imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13 breq2 3824 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑗𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14 fveq2 5268 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 5628 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
1615eleq1d 2153 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
1713, 16imbi12d 232 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1817imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19 breq2 3824 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝑁𝑗𝑁𝑀))
20 fveq2 5268 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
2120oveq1d 5628 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
2221eleq1d 2153 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22imbi12d 232 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
2423imbi2d 228 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25 nngt0 8382 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26 0z 8694 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
27 nnz 8702 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28 zltnle 8729 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
2926, 27, 28sylancr 405 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
3025, 29mpbid 145 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
3130pm2.21d 582 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32 peano2nn0 8646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 8799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
34 zleloe 8730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
3527, 33, 34syl2an 283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36 nnnn0 8613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 nn0leltp1 8746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
3836, 37sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
39 nn0p1nn 8645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40 nnmulcl 8378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4139, 40sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4241expcom 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
4342adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44 faccl 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4544nncnd 8371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4645adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4732nn0cnd 8661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4847adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49 nncn 8365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 nnap0 8386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
5251adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 # 0)
5346, 48, 50, 52div23apd 8232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
5453eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
5543, 54sylibrd 167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
5655imim2d 53 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5756com23 77 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5838, 57sylbird 168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5946, 50, 52divcanap4d 8201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
6044adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6159, 60eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
62 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
6362oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
6463eleq1d 2153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6561, 64syl5ibcom 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6665a1dd 47 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6758, 66jaod 670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6835, 67sylbid 148 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6968ex 113 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7069com34 82 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7170com12 30 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7271imp4d 344 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
73 facp1 10035 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7473oveq1d 5628 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
7574eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7672, 75sylibrd 167 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7776exp4d 361 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7877a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
796, 12, 18, 24, 31, 78nn0ind 8793 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
80793imp 1135 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  cfv 4981  (class class class)co 5613  cc 7292  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cle 7467   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  0cn0 8606  cz 8683  !cfa 10030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-iseq 9780  df-fac 10031
This theorem is referenced by:  facndiv  10044
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