ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facdiv GIF version

Theorem facdiv 10732
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4019 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค 0))
2 fveq2 5527 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
32oveq1d 5903 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜0) / ๐‘))
43eleq1d 2256 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
51, 4imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
65imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7 breq2 4019 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘˜))
8 fveq2 5527 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
98oveq1d 5903 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘))
109eleq1d 2256 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
117, 10imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1211imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
13 breq2 4019 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
14 fveq2 5527 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1514oveq1d 5903 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
1615eleq1d 2256 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
1713, 16imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1817imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
19 breq2 4019 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘€))
20 fveq2 5527 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘€))
2120oveq1d 5903 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘))
2221eleq1d 2256 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
2319, 22imbi12d 234 . . . 4 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
2423imbi2d 230 . . 3 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
25 nngt0 8958 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
26 0z 9278 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
27 nnz 9286 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
28 zltnle 9313 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 0))
2926, 27, 28sylancr 414 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 < ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ โ‰ค 0))
3025, 29mpbid 147 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค 0)
3130pm2.21d 620 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
32 peano2nn0 9230 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3332nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
34 zleloe 9314 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
3527, 33, 34syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
36 nnnn0 9197 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
37 nn0leltp1 9330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
39 nn0p1nn 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
40 nnmulcl 8954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
4139, 40sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
4241expcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
4342adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
44 faccl 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4544nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4732nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
4847adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
49 nncn 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
51 nnap0 8962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ # 0)
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ # 0)
5346, 48, 50, 52div23apd 8799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)))
5453eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
5543, 54sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
5655imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5756com23 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5838, 57sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5946, 50, 52divcanap4d 8767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (!โ€˜๐‘˜))
6044adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
6159, 60eqeltrd 2264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
62 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
6362oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
6463eleq1d 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6561, 64syl5ibcom 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6665a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6758, 66jaod 718 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6835, 67sylbid 150 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6968ex 115 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7069com34 83 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7170com12 30 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7271imp4d 352 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
73 facp1 10724 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
7473oveq1d 5903 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
7574eleq1d 2256 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7672, 75sylibrd 169 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7776exp4d 369 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7877a2d 26 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
796, 12, 18, 24, 31, 78nn0ind 9381 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
80793imp 1194 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  โ„•0cn0 9190  โ„คcz 9267  !cfa 10719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-fac 10720
This theorem is referenced by:  facndiv  10733  eirraplem  11798
  Copyright terms: Public domain W3C validator