Theorem facdiv 10043

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3824	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 0))
2		fveq2 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
3	2	oveq1d 5628	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
4	3	eleq1d 2153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
5	1, 4	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6	5	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7		breq2 3824	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8		fveq2 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	oveq1d 5628	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
10	9	eleq1d 2153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
11	7, 10	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
12	11	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13		breq2 3824	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14		fveq2 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 5628	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
16	15	eleq1d 2153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
17	13, 16	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
18	17	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19		breq2 3824	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
20		fveq2 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
21	20	oveq1d 5628	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
22	21	eleq1d 2153	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
24	23	imbi2d 228	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25		nngt0 8382	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26		0z 8694	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
27		nnz 8702	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
28		zltnle 8729	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
29	26, 27, 28	sylancr 405	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
30	25, 29	mpbid 145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
31	30	pm2.21d 582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32		peano2nn0 8646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 8799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
34		zleloe 8730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
35	27, 33, 34	syl2an 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36		nnnn0 8613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37		nn0leltp1 8746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
38	36, 37	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
39		nn0p1nn 8645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40		nnmulcl 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	expcom 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
43	42	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44		faccl 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
45	44	nncnd 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
46	45	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
47	32	nn0cnd 8661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49		nncn 8365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
50	49	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		nnap0 8386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
52	51	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 # 0)
53	46, 48, 50, 52	div23apd 8232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
54	53	eleq1d 2153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
55	43, 54	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
56	55	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
57	56	com23 77	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
58	38, 57	sylbird 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
59	46, 50, 52	divcanap4d 8201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
60	44	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
61	59, 60	eqeltrd 2161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
62		oveq2 5621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
63	62	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
64	63	eleq1d 2153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
65	61, 64	syl5ibcom 153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
66	65	a1dd 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
67	58, 66	jaod 670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
68	35, 67	sylbid 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
69	68	ex 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
70	69	com34 82	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
71	70	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
72	71	imp4d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
73		facp1 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
74	73	oveq1d 5628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
75	74	eleq1d 2153	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
76	72, 75	sylibrd 167	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
77	76	exp4d 361	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
78	77	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
79	6, 12, 18, 24, 31, 78	nn0ind 8793	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
80	79	3imp 1135	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∧ w3a 922   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   class class class wbr 3820  ‘cfv 4981  (class class class)co 5613  ℂcc 7292  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466   ≤ cle 7467   # cap 7999   / cdiv 8078  ℕcn 8357  ℕ₀cn0 8606  ℤcz 8683  !cfa 10030

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-iseq 9780  df-fac 10031

This theorem is referenced by:  facndiv  10044