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Theorem faclbnd 10705
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9167 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
54oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
63, 5breq12d 4013 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0))))
76imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))))
8 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
98oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
1110oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
129, 11breq12d 4013 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))))
1312imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))))
14 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
1514oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1716oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
1815, 17breq12d 4013 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
1918imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2120oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
2322oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
2421, 23breq12d 4013 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2524imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))))
26 nnre 8915 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27 nnge1 8931 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28 elnnuz 9553 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
2928biimpi 120 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
3026, 27, 29leexp2ad 10668 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀𝑀))
31 0p1e1 9022 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 5880 . . . . . . 7 (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
3332a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34 fac0 10692 . . . . . . . 8 (!‘0) = 1
3534oveq2i 5880 . . . . . . 7 ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀𝑀) · 1)
36 nnnn0 9172 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3726, 36reexpcld 10656 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
3837recnd 7976 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
3938mulid1d 7965 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · 1) = (𝑀𝑀))
4035, 39eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀𝑀) · (!‘0)) = (𝑀𝑀))
4130, 33, 403brtr4d 4032 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘0)))
4226ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
4642, 45reexpcld 10656 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4842, 47reexpcld 10656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
4943faccld 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5049nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
5148, 50remulcld 7978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
53 peano2re 8083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5443, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55 nngt0 8933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
5655ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57 0re 7948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
58 ltle 8035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
5957, 58mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
6042, 56, 59sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
6142, 45, 60expge0d 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)))
63 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 8888 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
6564anandis 592 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66 nncn 8916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67 expp1 10513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6866, 44, 67syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70 facp1 10694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7271oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
7338adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℂ)
74 faccl 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
7574nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77 nn0cn 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
78 peano2cn 8082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8079adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
8173, 76, 80mulassd 7971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
8272, 81eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8382adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
8465, 69, 833brtr4d 4032 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
8584exp32 365 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
8685com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87 nn0ltp1le 9304 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
8844, 36, 87syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
9044, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91 reexpcl 10523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9226, 90, 91syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9392adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9437ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
9544faccld 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
9695nnred 8921 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97 remulcl 7930 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9837, 96, 97syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
9998adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
10026ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10127ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
10390ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104103nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105 nnz 9261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106105ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107 eluz 9530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108104, 106, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109102, 108mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘((𝑘 + 1) + 1)))
110100, 101, 109leexp2ad 10668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀𝑀))
11137, 96anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
113 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0)
114 nn0ge0 9190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115112, 113, 114expge0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11636, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀𝑀))
11795nnge1d 8951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118116, 117anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119 lemulge11 8812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120111, 118, 119syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121120adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀𝑀) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
12293, 94, 99, 110, 121letrd 8071 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123122ex 115 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
12488, 123sylbid 150 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125124a1dd 48 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
126105adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
12744adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
128127nn0zd 9362 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
129 zlelttric 9287 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
130126, 128, 129syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
13186, 125, 130mpjaod 718 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
132131expcom 116 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
133132a2d 26 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
1347, 13, 19, 25, 41, 133nn0ind 9356 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
135134impcom 125 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
136 faccl 10699 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
137136nnnn0d 9218 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
138137nn0ge0d 9221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
139 nn0p1nn 9204 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1401390expd 10655 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
141 0exp0e1 10511 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
142141oveq1i 5879 . . . . . . 7 ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
143136nncnd 8922 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
144143mulid2d 7966 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
145142, 144eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
146138, 140, 1453brtr4d 4032 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
147 oveq1 5876 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
148 oveq12 5878 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
149148anidms 397 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
150149oveq1d 5884 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
151147, 150breq12d 4013 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
152146, 151syl5ibr 156 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
153152imp 124 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
154135, 153jaoian 795 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1551, 154sylanb 284 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cexp 10505  !cfa 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690
This theorem is referenced by:  faclbnd2  10706  faclbnd3  10707
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