Theorem faclbnd 10752

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9207	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		oveq1 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
5	4	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
6	3, 5	breq12d 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0))))
7	6	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))))
8		oveq1 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
11	10	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
12	9, 11	breq12d 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))))
13	12	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))))
14		oveq1 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
15	14	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
17	16	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
18	15, 17	breq12d 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
19	18	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20		oveq1 5902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
21	20	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22		fveq2 5534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
23	22	oveq2d 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
24	21, 23	breq12d 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
25	24	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))))
26		nnre 8955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27		nnge1 8971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28		elnnuz 9593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
30	26, 27, 29	leexp2ad 10713	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑𝑀))
31		0p1e1 9062	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 5906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
33	32	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34		fac0 10739	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘0) = 1
35	34	oveq2i 5906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀↑𝑀) · 1)
36		nnnn0 9212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
37	26, 36	reexpcld 10701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
39	38	mulridd 8003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · 1) = (𝑀↑𝑀))
40	35, 39	eqtrid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = (𝑀↑𝑀))
41	30, 33, 40	3brtr4d 4050	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44		peano2nn0 9245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
46	42, 45	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
48	42, 47	reexpcld 10701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
49	43	faccld 10747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
50	49	nnred 8961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51	48, 50	remulcld 8017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
53		peano2re 8122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55		nngt0 8973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57		0re 7986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ltle 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
61	42, 45, 60	expge0d 10702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66		nncn 8956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67		expp1 10557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70		facp1 10741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
72	71	oveq2d 5911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74		faccl 10746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 8962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77		nn0cn 9215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
78		peano2cn 8121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
81	73, 76, 80	mulassd 8010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
82	72, 81	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
84	65, 69, 83	3brtr4d 4050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87		nn0ltp1le 9344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89		peano2nn0 9245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91		reexpcl 10567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
95	44	faccld 10747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
96	95	nnred 8961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97		remulcl 7968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104	103	nn0zd 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105		nnz 9301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107		eluz 9570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)))
110	100, 101, 109	leexp2ad 10713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀↑𝑀))
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112		nn0re 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
114		nn0ge0 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115	112, 113, 114	expge0d 10702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
117	95	nnge1d 8991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119		lemulge11 8852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
128	127	nn0zd 9402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
129		zlelttric 9327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
131	86, 125, 130	mpjaod 719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
132	131	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
133	132	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9396	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
135	134	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
136		faccl 10746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
137	136	nnnn0d 9258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
138	137	nn0ge0d 9261	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
139		nn0p1nn 9244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
140	139	0expd 10700	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
141		0exp0e1 10555	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
142	141	oveq1i 5905	. . . . . . 7 ⊢ ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
143	136	nncnd 8962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
144	143	mulid2d 8005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
145	142, 144	eqtrid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
146	138, 140, 145	3brtr4d 4050	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
147		oveq1 5902	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
148		oveq12 5904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
149	148	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
150	149	oveq1d 5910	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
151	147, 150	breq12d 4031	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
152	146, 151	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
153	152	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
154	135, 153	jaoian 796	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
155	1, 154	sylanb 284	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  ℝcr 7839  0cc0 7840  1c1 7841   + caddc 7843   · cmul 7845   < clt 8021   ≤ cle 8022  ℕcn 8948  ℕ₀cn0 9205  ℤcz 9282  ℤ_≥cuz 9557  ↑cexp 10549  !cfa 10736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-rp 9683  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-fac 10737

This theorem is referenced by:  faclbnd2  10753  faclbnd3  10754