ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd GIF version
Theorem faclbnd 10723
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
Proof of Theorem faclbnd
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 9180 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ (𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0))
2 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (𝑗 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (𝑗 = 0 β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜0))
54oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))
63, 5breq12d 4018 . . . . . 6 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0))))
76imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = 0 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))))
8 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 + 1) = (π‘˜ + 1))
98oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(π‘˜ + 1)))
10 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜π‘˜))
1110oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))
129, 11breq12d 4018 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))))
1312imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))))
14 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((π‘˜ + 1) + 1))
1514oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)))
16 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜(π‘˜ + 1)))
1716oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
1815, 17breq12d 4018 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
1918imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
20 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
2120oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑁 β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜π‘))
2322oveq2d 5893 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) = ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
2421, 23breq12d 4018 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
2524imbi2d 230 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘—))) ↔ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))))
26 nnre 8928 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 nnge1 8944 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑀)
28 elnnuz 9566 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2928biimpi 120 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
3026, 27, 29leexp2ad 10685 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑1) ≀ (𝑀↑𝑀))
31 0p1e1 9035 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 5888 . . . . . . 7 (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
3332a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34 fac0 10710 . . . . . . . 8 (!β€˜0) = 1
3534oveq2i 5888 . . . . . . 7 ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)) = ((𝑀↑𝑀) Β· 1)
36 nnnn0 9185 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3726, 36reexpcld 10673 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
3837recnd 7988 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ β„‚)
3938mulridd 7976 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· 1) = (𝑀↑𝑀))
4035, 39eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)) = (𝑀↑𝑀))
4130, 33, 403brtr4d 4037 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(0 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜0)))
4226ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
43 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
44 peano2nn0 9218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
4642, 45reexpcld 10673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
4736ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4842, 47reexpcld 10673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
4943faccld 10718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
5049nnred 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5148, 50remulcld 7990 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
52 nn0re 9187 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
53 peano2re 8095 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
5443, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
55 nngt0 8946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
5655ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 < 𝑀)
57 0re 7959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
58 ltle 8047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝑀 β†’ 0 ≀ 𝑀))
5957, 58mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 < 𝑀 β†’ 0 ≀ 𝑀))
6042, 56, 59sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
6142, 45, 60expge0d 10674 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 0 ≀ (𝑀↑(π‘˜ + 1)))
62 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)))
63 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))
6446, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63lemul12ad 8901 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) ∧ ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀) ≀ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
6564anandis 592 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀) ≀ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
66 nncn 8929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
67 expp1 10529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
6866, 44, 67syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
6968adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) = ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) Β· 𝑀))
70 facp1 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) = ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1)))
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) = ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1)))
7271oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = ((𝑀↑𝑀) Β· ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1))))
7338adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ β„‚)
74 faccl 10717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
7574nncnd 8935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
77 nn0cn 9188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
78 peano2cn 8094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
8079adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
8173, 76, 80mulassd 7983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)) = ((𝑀↑𝑀) Β· ((!β€˜π‘˜) Β· (π‘˜ + 1))))
8272, 81eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
8382adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) = (((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ + 1)))
8465, 69, 833brtr4d 4037 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) ∧ 𝑀 ≀ (π‘˜ + 1))) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
8584exp32 365 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
8685com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
87 nn0ltp1le 9317 . . . . . . . . . . 11 (((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
8844, 36, 87syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
89 peano2nn0 9218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
9044, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
91 reexpcl 10539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9226, 90, 91syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9392adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9437ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
9544faccld 10718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
9695nnred 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
97 remulcl 7941 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
9837, 96, 97syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
9998adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
10026ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
10127ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑀)
102 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀)
10390ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„•0)
104103nn0zd 9375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ ((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„€)
105 nnz 9274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
106105ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
107 eluz 9543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘˜ + 1) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
108104, 106, 107syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)) ↔ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀))
109102, 108mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘˜ + 1) + 1)))
110100, 101, 109leexp2ad 10685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ (𝑀↑𝑀))
11137, 96anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ))
112 nn0re 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
113 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
114 nn0ge0 9203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑀)
115112, 113, 114expge0d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑀))
11636, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (𝑀↑𝑀))
11795nnge1d 8964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1)))
118116, 117anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1))))
119 lemulge11 8825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≀ (!β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
120111, 118, 119syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
121120adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑𝑀) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
12293, 94, 99, 110, 121letrd 8083 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ ((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))
123122ex 115 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ + 1) + 1) ≀ 𝑀 β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
12488, 123sylbid 150 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
125124a1dd 48 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ + 1) < 𝑀 β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
126105adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12744adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
128127nn0zd 9375 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
129 zlelttric 9300 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) ∨ (π‘˜ + 1) < 𝑀))
130126, 128, 129syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ≀ (π‘˜ + 1) ∨ (π‘˜ + 1) < 𝑀))
13186, 125, 130mpjaod 718 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1)))))
132131expcom 116 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜)) β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
133132a2d 26 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘˜))) β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑((π‘˜ + 1) + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜(π‘˜ + 1))))))
1347, 13, 19, 25, 41, 133nn0ind 9369 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
135134impcom 125 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
136 faccl 10717 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
137136nnnn0d 9231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•0)
138137nn0ge0d 9234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (!β€˜π‘))
139 nn0p1nn 9217 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1401390expd 10672 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
141 0exp0e1 10527 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
142141oveq1i 5887 . . . . . . 7 ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)) = (1 Β· (!β€˜π‘))
143136nncnd 8935 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
144143mulid2d 7978 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 Β· (!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
145142, 144eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
146138, 140, 1453brtr4d 4037 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (0↑(𝑁 + 1)) ≀ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)))
147 oveq1 5884 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
148 oveq12 5886 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
149148anidms 397 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 β†’ (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
150149oveq1d 5892 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)) = ((0↑0) Β· (!β€˜π‘)))
151147, 150breq12d 4018 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≀ ((0↑0) Β· (!β€˜π‘))))
152146, 151imbitrrid 156 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘))))
153152imp 124 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
154135, 153jaoian 795 . 2 (((𝑀 ∈ β„• ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
1551, 154sylanb 284 1 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≀ ((𝑀↑𝑀) Β· (!β€˜π‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   Β· cmul 7818   < clt 7994   ≀ cle 7995  β„•cn 8921  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  β†‘cexp 10521  !cfa 10707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708
This theorem is referenced by:  faclbnd2  10724  faclbnd3  10725
  Copyright terms: Public domain W3C validator