Theorem faclbnd 10705

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9167	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		oveq1 5876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(0 + 1)))
4		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
5	4	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
6	3, 5	breq12d 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0))))
7	6	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))))
8		oveq1 5876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
9	8	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑘 + 1)))
10		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
11	10	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
12	9, 11	breq12d 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))))
13	12	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))))
14		oveq1 5876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
15	14	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)))
16		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
17	16	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
18	15, 17	breq12d 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
19	18	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
20		oveq1 5876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
21	20	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀↑(𝑗 + 1)) = (𝑀↑(𝑁 + 1)))
22		fveq2 5511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
23	22	oveq2d 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) = ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
24	21, 23	breq12d 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗)) ↔ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
25	24	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑗 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑗))) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))))
26		nnre 8915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
27		nnge1 8931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
28		elnnuz 9553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
29	28	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
30	26, 27, 29	leexp2ad 10668	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑1) ≤ (𝑀↑𝑀))
31		0p1e1 9022	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 5880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1)
33	32	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) = (𝑀↑1))
34		fac0 10692	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘0) = 1
35	34	oveq2i 5880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = ((𝑀↑𝑀) · 1)
36		nnnn0 9172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
37	26, 36	reexpcld 10656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
38	37	recnd 7976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
39	38	mulid1d 7965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · 1) = (𝑀↑𝑀))
40	35, 39	eqtrid 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)) = (𝑀↑𝑀))
41	30, 33, 40	3brtr4d 4032	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(0 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘0)))
42	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
43		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
44		peano2nn0 9205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
46	42, 45	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
48	42, 47	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
49	43	faccld 10700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
50	49	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
51	48, 50	remulcld 7978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
52		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
53		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55		nngt0 8933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 < 𝑀)
57		0re 7948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		ltle 8035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
59	57, 58	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 < 𝑀 → 0 ≤ 𝑀))
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ 𝑀)
61	42, 45, 60	expge0d 10657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 0 ≤ (𝑀↑(𝑘 + 1)))
62		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)))
63		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
65	64	anandis 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀) ≤ (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
66		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
67		expp1 10513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
68	66, 44, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) = ((𝑀↑(𝑘 + 1)) · 𝑀))
70		facp1 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
72	71	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
73	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℂ)
74		faccl 10699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
75	74	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
77		nn0cn 9175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
78		peano2cn 8082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
81	73, 76, 80	mulassd 7971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((𝑀↑𝑀) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
82	72, 81	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
84	65, 69, 83	3brtr4d 4032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
85	84	exp32 365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
87		nn0ltp1le 9304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
88	44, 36, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
89		peano2nn0 9205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
91		reexpcl 10523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
92	26, 90, 91	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
93	92	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
94	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ∈ ℝ)
95	44	faccld 10700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
96	95	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
97		remulcl 7930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
98	37, 96, 97	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
100	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
101	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
102		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀)
103	90	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
104	103	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → ((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ)
105		nnz 9261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
107		eluz 9530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑘 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
108	104, 106, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)) ↔ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀))
109	102, 108	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘((𝑘 + 1) + 1)))
110	100, 101, 109	leexp2ad 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ (𝑀↑𝑀))
111	37, 96	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
112		nn0re 9174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℕ0)
114		nn0ge0 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
115	112, 113, 114	expge0d 10657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑀↑𝑀))
117	95	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
118	116, 117	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
119		lemulge11 8812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑀↑𝑀) ∧ 1 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
120	111, 118, 119	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
121	120	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑𝑀) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 8071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))
123	122	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) + 1) ≤ 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
124	88, 123	sylbid 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
126	105	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
127	44	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
128	127	nn0zd 9362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
129		zlelttric 9287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
130	126, 128, 129	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∨ (𝑘 + 1) < 𝑀))
131	86, 125, 130	mpjaod 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1)))))
132	131	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘)) → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
133	132	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑((𝑘 + 1) + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘(𝑘 + 1))))))
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9356	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
135	134	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
136		faccl 10699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
137	136	nnnn0d 9218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
138	137	nn0ge0d 9221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
139		nn0p1nn 9204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
140	139	0expd 10655	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) = 0)
141		0exp0e1 10511	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
142	141	oveq1i 5879	. . . . . . 7 ⊢ ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))
143	136	nncnd 8922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
144	143	mulid2d 7966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
145	142, 144	eqtrid 2222	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0↑0) · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
146	138, 140, 145	3brtr4d 4032	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁)))
147		oveq1 5876	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) = (0↑(𝑁 + 1)))
148		oveq12 5878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
149	148	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0))
150	149	oveq1d 5884	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = ((0↑0) · (!‘𝑁)))
151	147, 150	breq12d 4013	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑(𝑁 + 1)) ≤ ((0↑0) · (!‘𝑁))))
152	146, 151	syl5ibr 156	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))))
153	152	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
154	135, 153	jaoian 795	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))
155	1, 154	sylanb 284	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ↑cexp 10505  !cfa 10689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690

This theorem is referenced by:  faclbnd2  10706  faclbnd3  10707