Theorem efcllemp 11621

Description: Lemma for efcl 11627. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11496 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efcllemp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efcllemp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
efcllemp.ak	⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9521	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2170	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		halfre 9091	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 9095	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7		halfgt0 9093	. . 3 ⊢ 0 < (1 / 2)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9		efcllemp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9188	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		efcllemp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		efcllemp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
13	12	eftvalcn 11620	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		eftcl 11617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	eqeltrd 2247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	11	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	abscld 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		eluznn0 9558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	10, 19	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		nn0p1nn 9174	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	18, 22	nndivred 8928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
24	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
25	18, 20	reexpcld 10626	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	20	faccld 10670	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
27	25, 26	nndivred 8928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	17, 20	expcld 10609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28	absge0d 11148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
30	17, 20	absexpd 11156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
31	29, 30	breqtrd 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
32	26	nnred 8891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
33	26	nngt0d 8922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 < (!‘𝑘))
34		divge0 8789	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		2re 8948	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		abscl 11015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
38		remulcl 7902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
45	22	nnred 8891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47	46	nn0red 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
49	48	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
50	47	ltp1d 8846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝐾 + 1))
52		eluzp1p1 9512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
53	52	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
54		eluzle 9499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
57	18	recnd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
58		2cn 8949	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		mulcom 7903	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	57, 58, 59	sylancl 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
61	22	nncnd 8892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
62	61	mulid2d 7938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
63	56, 60, 62	3brtr4d 4021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
64		2rp 9615	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ ℝ+)
66		1red 7935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
67	22	nnrpd 9651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9722	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
69	63, 68	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
70		ltle 8007	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	23, 3, 70	sylancl 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
74		peano2nn0 9175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
76	12	eftvalcn 11620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	11, 75, 76	syl2an2r 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
78	77	fveq2d 5500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
79	17, 75	absexpd 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	57, 20	expp1d 10610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	75	faccld 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 8891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 9188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 9191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 11131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 10664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 5871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91	17, 75	expcld 10609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	82	nncnd 8892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nnap0d 8924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) # 0)
94	91, 92, 93	absdivapd 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
95	25	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
96	26	nncnd 8892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
97	26	nnap0d 8924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) # 0)
98	22	nnap0d 8924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) # 0)
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8749	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
101	78, 100	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102		halfcn 9092	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
103	11, 20, 15	syl2an2r 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104	103	abscld 11145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 7948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
106		mulcom 7903	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
107	102, 105, 106	sylancr 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	11, 20, 13	syl2an2r 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
109	108	fveq2d 5500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
110		eftabs 11619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
111	11, 20, 110	syl2an2r 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	109, 111	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	112	oveq1d 5868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
114	107, 113	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	73, 101, 114	3brtr4d 4021	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 11496	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  dom cdm 4611  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤ_≥cuz 9487  ℝ⁺crp 9610  seqcseq 10401  ↑cexp 10475  !cfa 10659  abscabs 10961   ⇝ cli 11241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  efcllem  11622