Theorem efcllemp 11002

Description: Lemma for efcl 11008. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 10981 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efcllemp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efcllemp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
efcllemp.ak	⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9107	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2089	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		halfre 8683	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 8687	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7		halfgt0 8685	. . 3 ⊢ 0 < (1 / 2)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9		efcllemp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 8780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		efcllemp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		efcllemp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
13	12	eftvalcn 11001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		eftcl 10998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	eqeltrd 2165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	sylan 278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	11	adantr 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	abscld 10668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		eluznn0 9140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	10, 19	sylan 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		nn0p1nn 8766	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	18, 22	nndivred 8526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
24	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
25	18, 20	reexpcld 10157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	20	faccld 10198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
27	25, 26	nndivred 8526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	17, 20	expcld 10140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28	absge0d 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
30	17, 20	absexpd 10679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
31	29, 30	breqtrd 3875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
32	26	nnred 8489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
33	26	nngt0d 8520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 < (!‘𝑘))
34		divge0 8388	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		2re 8546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		abscl 10538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
38		remulcl 7524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41		peano2nn0 8767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 8781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
45	22	nnred 8489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46	10	adantr 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47	46	nn0red 8781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
49	48	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
50	47	ltp1d 8445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 7663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝐾 + 1))
52		eluzp1p1 9098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
53	52	adantl 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
54		eluzle 9085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 7955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
57	18	recnd 7570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
58		2cn 8547	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		mulcom 7525	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	57, 58, 59	sylancl 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
61	22	nncnd 8490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
62	61	mulid2d 7560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
63	56, 60, 62	3brtr4d 3881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
64		2rp 9193	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ ℝ+)
66		1red 7557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
67	22	nnrpd 9226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
69	63, 68	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
70		ltle 7626	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	23, 3, 70	sylancl 405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8455	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
74		peano2nn0 8767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
76	12	eftvalcn 11001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	11, 75, 76	syl2an2r 563	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
78	77	fveq2d 5322	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
79	17, 75	absexpd 10679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	57, 20	expp1d 10141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	75	faccld 10198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 8489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 8780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 8783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 10654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 10192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 5684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91	17, 75	expcld 10140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	82	nncnd 8490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nnap0d 8522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) # 0)
94	91, 92, 93	absdivapd 10682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
95	25	recnd 7570	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
96	26	nncnd 8490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
97	26	nnap0d 8522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) # 0)
98	22	nnap0d 8522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) # 0)
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8353	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
101	78, 100	eqtrd 2121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102		halfcn 8684	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
103	11, 20, 15	syl2an2r 563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104	103	abscld 10668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 7570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
106		mulcom 7525	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
107	102, 105, 106	sylancr 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	11, 20, 13	syl2an2r 563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
109	108	fveq2d 5322	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
110		eftabs 11000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
111	11, 20, 110	syl2an2r 563	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	109, 111	eqtrd 2121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	112	oveq1d 5681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
114	107, 113	eqtrd 2121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	73, 101, 114	3brtr4d 3881	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 10981	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  dom cdm 4451  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7402  ℝcr 7403  0cc0 7404  1c1 7405   + caddc 7407   · cmul 7409   < clt 7576   ≤ cle 7577   / cdiv 8193  ℕcn 8476  2c2 8527  ℕ₀cn0 8727  ℤ_≥cuz 9073  ℝ⁺crp 9188  seqcseq 9906  ↑cexp 10008  !cfa 10187  abscabs 10484   ⇝ cli 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518  ax-caucvg 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-q 9159  df-rp 9189  df-ico 9366  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-fac 10188  df-ihash 10238  df-cj 10330  df-re 10331  df-im 10332  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721  df-isum 10797

This theorem is referenced by:  efcllem  11003