ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcllemp GIF version

Theorem efcllemp 11680
Description: Lemma for efcl 11686. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11555 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efcllemp.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efcllemp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
efcllemp.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
efcllemp.ak (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
Assertion
Ref Expression
efcllemp (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   ๐พ(๐‘›)

Proof of Theorem efcllemp
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9576 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 eqid 2187 . 2 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)
3 halfre 9146 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
43a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
5 halflt1 9150 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) < 1)
7 halfgt0 9148 . . 3 0 < (1 / 2)
87a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / 2))
9 efcllemp.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 9243 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
11 efcllemp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12 efcllemp.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1312eftvalcn 11679 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
14 eftcl 11676 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1513, 14eqeltrd 2264 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1611, 15sylan 283 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1711adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817abscld 11204 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
19 eluznn0 9613 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2010, 19sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 nn0p1nn 9229 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2318, 22nndivred 8983 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
243a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
2518, 20reexpcld 10685 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2620faccld 10730 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2725, 26nndivred 8983 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2817, 20expcld 10668 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2928absge0d 11207 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
3017, 20absexpd 11215 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3129, 30breqtrd 4041 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3226nnred 8946 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3326nngt0d 8977 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
34 divge0 8844 . . . . 5 (((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3525, 31, 32, 33, 34syl22anc 1249 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
36 2re 9003 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
37 abscl 11074 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
38 remulcl 7953 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3936, 37, 38sylancr 414 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4017, 39syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
41 peano2nn0 9230 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
4210, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
4342nn0red 9244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4443adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4522nnred 8946 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
4610adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4746nn0red 9244 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
48 efcllemp.ak . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
4948adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
5047ltp1d 8901 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ < (๐พ + 1))
5140, 47, 44, 49, 50lttrd 8097 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐พ + 1))
52 eluzp1p1 9567 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
5352adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
54 eluzle 9554 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)) โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5640, 44, 45, 51, 55ltletrd 8394 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐‘˜ + 1))
5718recnd 8000 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
58 2cn 9004 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
59 mulcom 7954 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6057, 58, 59sylancl 413 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6122nncnd 8947 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
6261mulid2d 7990 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (1 ยท (๐‘˜ + 1)) = (๐‘˜ + 1))
6356, 60, 623brtr4d 4047 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)))
64 2rp 9672 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
6564a1i 9 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
66 1red 7986 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6722nnrpd 9708 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
6818, 65, 66, 67lt2mul2divd 9779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2)))
6963, 68mpbid 147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2))
70 ltle 8059 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7123, 3, 70sylancl 413 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7269, 71mpd 13 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2))
7323, 24, 27, 35, 72lemul2ad 8911 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
74 peano2nn0 9230 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7520, 74syl 14 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7612eftvalcn 11679 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7711, 75, 76syl2an2r 595 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7877fveq2d 5531 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7917, 75absexpd 11215 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
8057, 20expp1d 10669 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8179, 80eqtrd 2220 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8275faccld 10730 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
8382nnred 8946 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
8482nnnn0d 9243 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•0)
8584nn0ge0d 9246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
8683, 85absidd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
87 facp1 10724 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8820, 87syl 14 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8986, 88eqtrd 2220 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
9081, 89oveq12d 5906 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
9117, 75expcld 10668 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9282nncnd 8947 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9382nnap0d 8979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) # 0)
9491, 92, 93absdivapd 11218 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
9525recnd 8000 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9626nncnd 8947 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9726nnap0d 8979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) # 0)
9822nnap0d 8979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) # 0)
9995, 96, 57, 61, 97, 98divmuldivapd 8803 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
10090, 94, 993eqtr4d 2230 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
10178, 100eqtrd 2220 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
102 halfcn 9147 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
10311, 20, 15syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
104103abscld 11204 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
105104recnd 8000 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
106 mulcom 7954 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
107102, 105, 106sylancr 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
10811, 20, 13syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
109108fveq2d 5531 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
110 eftabs 11678 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11111, 20, 110syl2an2r 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
112109, 111eqtrd 2220 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
113112oveq1d 5903 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
114107, 113eqtrd 2220 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
11573, 101, 1143brtr4d 4047 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
1161, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115cvgratgt0 11555 1 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015   โ†ฆ cmpt 4076  dom cdm 4638  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  โ„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  2c2 8984  โ„•0cn0 9190  โ„คโ‰ฅcuz 9542  โ„+crp 9667  seqcseq 10459  โ†‘cexp 10533  !cfa 10719  abscabs 11020   โ‡ cli 11300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  efcllem  11681
  Copyright terms: Public domain W3C validator