ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcllemp GIF version

Theorem efcllemp 11650
Description: Lemma for efcl 11656. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11525 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efcllemp.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efcllemp.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efcllemp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
efcllemp.ak (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
efcllemp (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem efcllemp
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9551 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 eqid 2177 . 2 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
3 halfre 9121 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 9 . 2 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5 halflt1 9125 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 9 . 2 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7 halfgt0 9123 . . 3 0 < (1 / 2)
87a1i 9 . 2 (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9 efcllemp.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
109nnnn0d 9218 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
11 efcllemp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
12 efcllemp.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1312eftvalcn 11649 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
14 eftcl 11646 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1513, 14eqeltrd 2254 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1611, 15sylan 283 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1711adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1817abscld 11174 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19 eluznn0 9588 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2010, 19sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 nn0p1nn 9204 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2318, 22nndivred 8958 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
243a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
2518, 20reexpcld 10656 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
2620faccld 10700 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2725, 26nndivred 8958 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
2817, 20expcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2928absge0d 11177 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
3017, 20absexpd 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3129, 30breqtrd 4026 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3226nnred 8921 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3326nngt0d 8952 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 < (!‘𝑘))
34 divge0 8819 . . . . 5 (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3525, 31, 32, 33, 34syl22anc 1239 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36 2re 8978 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
37 abscl 11044 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
38 remulcl 7930 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
3936, 37, 38sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
4017, 39syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
4210, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
4342nn0red 9219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4443adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4522nnred 8921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4610adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4746nn0red 9219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
48 efcllemp.ak . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
4948adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
5047ltp1d 8876 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
5140, 47, 44, 49, 50lttrd 8073 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝐾 + 1))
52 eluzp1p1 9542 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5352adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
54 eluzle 9529 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5640, 44, 45, 51, 55ltletrd 8370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
5718recnd 7976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
58 2cn 8979 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
59 mulcom 7931 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6057, 58, 59sylancl 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6122nncnd 8922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
6261mulid2d 7966 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
6356, 60, 623brtr4d 4032 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
64 2rp 9645 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
6564a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∈ ℝ+)
66 1red 7963 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
6722nnrpd 9681 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
6818, 65, 66, 67lt2mul2divd 9752 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
6963, 68mpbid 147 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
70 ltle 8035 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7123, 3, 70sylancl 413 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7269, 71mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
7323, 24, 27, 35, 72lemul2ad 8886 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
74 peano2nn0 9205 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7520, 74syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7612eftvalcn 11649 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7711, 75, 76syl2an2r 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7877fveq2d 5515 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
7917, 75absexpd 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
8057, 20expp1d 10640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8179, 80eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8275faccld 10700 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
8382nnred 8921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8482nnnn0d 9218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
8584nn0ge0d 9221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
8683, 85absidd 11160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87 facp1 10694 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8820, 87syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8986, 88eqtrd 2210 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
9081, 89oveq12d 5887 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
9117, 75expcld 10639 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9282nncnd 8922 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9382nnap0d 8954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) # 0)
9491, 92, 93absdivapd 11188 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
9525recnd 7976 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9626nncnd 8922 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9726nnap0d 8954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (!‘𝑘) # 0)
9822nnap0d 8954 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑘 + 1) # 0)
9995, 96, 57, 61, 97, 98divmuldivapd 8778 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
10090, 94, 993eqtr4d 2220 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
10178, 100eqtrd 2210 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102 halfcn 9122 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℂ
10311, 20, 15syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
104103abscld 11174 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
105104recnd 7976 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
106 mulcom 7931 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
107102, 105, 106sylancr 414 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
10811, 20, 13syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
109108fveq2d 5515 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
110 eftabs 11648 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11111, 20, 110syl2an2r 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112109, 111eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113112oveq1d 5884 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
114107, 113eqtrd 2210 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
11573, 101, 1143brtr4d 4032 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
1161, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115cvgratgt0 11525 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  dom cdm 4623  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cuz 9517  +crp 9640  seqcseq 10431  cexp 10505  !cfa 10689  abscabs 10990  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  efcllem  11651
  Copyright terms: Public domain W3C validator