ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcllemp GIF version

Theorem efcllemp 11669
Description: Lemma for efcl 11675. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11544 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
efcllemp.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
efcllemp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
efcllemp.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
efcllemp.ak (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
Assertion
Ref Expression
efcllemp (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   ๐พ(๐‘›)

Proof of Theorem efcllemp
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9565 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 eqid 2177 . 2 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)
3 halfre 9135 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
43a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
5 halflt1 9139 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) < 1)
7 halfgt0 9137 . . 3 0 < (1 / 2)
87a1i 9 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / 2))
9 efcllemp.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 9232 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
11 efcllemp.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12 efcllemp.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1312eftvalcn 11668 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
14 eftcl 11665 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
1513, 14eqeltrd 2254 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1611, 15sylan 283 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1711adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817abscld 11193 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
19 eluznn0 9602 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2010, 19sylan 283 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
21 nn0p1nn 9218 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2318, 22nndivred 8972 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
243a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
2518, 20reexpcld 10674 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2620faccld 10719 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
2725, 26nndivred 8972 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2817, 20expcld 10657 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2928absge0d 11196 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
3017, 20absexpd 11204 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3129, 30breqtrd 4031 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3226nnred 8935 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3326nngt0d 8966 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
34 divge0 8833 . . . . 5 (((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
3525, 31, 32, 33, 34syl22anc 1239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
36 2re 8992 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
37 abscl 11063 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
38 remulcl 7942 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3936, 37, 38sylancr 414 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4017, 39syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
41 peano2nn0 9219 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
4210, 41syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
4342nn0red 9233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4443adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„)
4522nnred 8935 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
4610adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4746nn0red 9233 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
48 efcllemp.ak . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
4948adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ๐พ)
5047ltp1d 8890 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ < (๐พ + 1))
5140, 47, 44, 49, 50lttrd 8086 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐พ + 1))
52 eluzp1p1 9556 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
5352adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
54 eluzle 9543 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)) โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5553, 54syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5640, 44, 45, 51, 55ltletrd 8383 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐‘˜ + 1))
5718recnd 7989 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
58 2cn 8993 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
59 mulcom 7943 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6057, 58, 59sylancl 413 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6122nncnd 8936 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
6261mulid2d 7979 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (1 ยท (๐‘˜ + 1)) = (๐‘˜ + 1))
6356, 60, 623brtr4d 4037 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)))
64 2rp 9661 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
6564a1i 9 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
66 1red 7975 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6722nnrpd 9697 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
6818, 65, 66, 67lt2mul2divd 9768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2)))
6963, 68mpbid 147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2))
70 ltle 8048 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7123, 3, 70sylancl 413 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7269, 71mpd 13 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2))
7323, 24, 27, 35, 72lemul2ad 8900 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
74 peano2nn0 9219 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7520, 74syl 14 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7612eftvalcn 11668 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7711, 75, 76syl2an2r 595 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7877fveq2d 5521 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
7917, 75absexpd 11204 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
8057, 20expp1d 10658 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8179, 80eqtrd 2210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8275faccld 10719 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
8382nnred 8935 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
8482nnnn0d 9232 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•0)
8584nn0ge0d 9235 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
8683, 85absidd 11179 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
87 facp1 10713 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8820, 87syl 14 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8986, 88eqtrd 2210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
9081, 89oveq12d 5896 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
9117, 75expcld 10657 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9282nncnd 8936 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9382nnap0d 8968 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) # 0)
9491, 92, 93absdivapd 11207 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
9525recnd 7989 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9626nncnd 8936 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9726nnap0d 8968 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) # 0)
9822nnap0d 8968 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘˜ + 1) # 0)
9995, 96, 57, 61, 97, 98divmuldivapd 8792 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
10090, 94, 993eqtr4d 2220 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
10178, 100eqtrd 2210 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
102 halfcn 9136 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
10311, 20, 15syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
104103abscld 11193 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
105104recnd 7989 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
106 mulcom 7943 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
107102, 105, 106sylancr 414 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
10811, 20, 13syl2an2r 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
109108fveq2d 5521 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
110 eftabs 11667 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11111, 20, 110syl2an2r 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
112109, 111eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
113112oveq1d 5893 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
114107, 113eqtrd 2210 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
11573, 101, 1143brtr4d 4037 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
1161, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115cvgratgt0 11544 1 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066  dom cdm 4628  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  โ„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  2c2 8973  โ„•0cn0 9179  โ„คโ‰ฅcuz 9531  โ„+crp 9656  seqcseq 10448  โ†‘cexp 10522  !cfa 10708  abscabs 11009   โ‡ cli 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365
This theorem is referenced by:  efcllem  11670
  Copyright terms: Public domain W3C validator