Theorem efcllemp 11650

Description: Lemma for efcl 11656. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 11525 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efcllemp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efcllemp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
efcllemp.ak	⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9551	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2177	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		halfre 9121	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 9125	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7		halfgt0 9123	. . 3 ⊢ 0 < (1 / 2)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9		efcllemp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		efcllemp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		efcllemp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
13	12	eftvalcn 11649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		eftcl 11646	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	abscld 11174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		eluznn0 9588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	10, 19	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		nn0p1nn 9204	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	18, 22	nndivred 8958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
24	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
25	18, 20	reexpcld 10656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	20	faccld 10700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
27	25, 26	nndivred 8958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	17, 20	expcld 10639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28	absge0d 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
30	17, 20	absexpd 11185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
31	29, 30	breqtrd 4026	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
32	26	nnred 8921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
33	26	nngt0d 8952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 < (!‘𝑘))
34		divge0 8819	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		2re 8978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		abscl 11044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
38		remulcl 7930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41		peano2nn0 9205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
45	22	nnred 8921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47	46	nn0red 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
50	47	ltp1d 8876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝐾 + 1))
52		eluzp1p1 9542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
54		eluzle 9529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
57	18	recnd 7976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
58		2cn 8979	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		mulcom 7931	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	57, 58, 59	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
61	22	nncnd 8922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
62	61	mulid2d 7966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
63	56, 60, 62	3brtr4d 4032	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
64		2rp 9645	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ ℝ+)
66		1red 7963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
67	22	nnrpd 9681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 9752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
69	63, 68	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
70		ltle 8035	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	23, 3, 70	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 8886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
74		peano2nn0 9205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
76	12	eftvalcn 11649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	11, 75, 76	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
78	77	fveq2d 5515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
79	17, 75	absexpd 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	57, 20	expp1d 10640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	75	faccld 10700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 8921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 9218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 9221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 10694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 5887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91	17, 75	expcld 10639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	82	nncnd 8922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nnap0d 8954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) # 0)
94	91, 92, 93	absdivapd 11188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
95	25	recnd 7976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
96	26	nncnd 8922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
97	26	nnap0d 8954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) # 0)
98	22	nnap0d 8954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) # 0)
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 8778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
101	78, 100	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102		halfcn 9122	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
103	11, 20, 15	syl2an2r 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104	103	abscld 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 7976	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
106		mulcom 7931	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
107	102, 105, 106	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	11, 20, 13	syl2an2r 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
109	108	fveq2d 5515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
110		eftabs 11648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
111	11, 20, 110	syl2an2r 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	109, 111	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	112	oveq1d 5884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
114	107, 113	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	73, 101, 114	3brtr4d 4032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 11525	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061  dom cdm 4623  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   ≤ cle 7983   / cdiv 8618  ℕcn 8908  2c2 8959  ℕ₀cn0 9165  ℤ_≥cuz 9517  ℝ⁺crp 9640  seqcseq 10431  ↑cexp 10505  !cfa 10689  abscabs 10990   ⇝ cli 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  efcllem  11651