Theorem efcllemp 12408

Description: Lemma for efcl 12414. The series that defines the exponential function converges. The ratio test cvgratgt0 12283 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
efcllemp.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
efcllemp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efcllemp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
efcllemp.ak	⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
efcllemp	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem efcllemp

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 9940	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2238	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝐾) = (ℤ≥‘𝐾)
3		halfre 9501	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 9505	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) < 1)
7		halfgt0 9503	. . 3 ⊢ 0 < (1 / 2)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 2))
9		efcllemp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 9603	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11		efcllemp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		efcllemp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
13	12	eftvalcn 12407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
14		eftcl 12404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
15	13, 14	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16	11, 15	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	abscld 11930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19		eluznn0 9982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20	10, 19	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		nn0p1nn 9585	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
23	18, 22	nndivred 9337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
24	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
25	18, 20	reexpcld 11111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	20	faccld 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
27	25, 26	nndivred 9337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	17, 20	expcld 11094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29	28	absge0d 11933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
30	17, 20	absexpd 11941	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
31	29, 30	breqtrd 4154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
32	26	nnred 9300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
33	26	nngt0d 9331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 < (!‘𝑘))
34		divge0 9197	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
35	25, 31, 32, 33, 34	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36		2re 9357	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		abscl 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
38		remulcl 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
40	17, 39	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
41		peano2nn0 9586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
42	10, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
43	42	nn0red 9604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
45	22	nnred 9300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47	46	nn0red 9604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
48		efcllemp.ak	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
49	48	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝐾)
50	47	ltp1d 9254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
51	40, 47, 44, 49, 50	lttrd 8446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝐾 + 1))
52		eluzp1p1 9931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
53	52	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
54		eluzle 9917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
56	40, 44, 45, 51, 55	ltletrd 8745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
57	18	recnd 8348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
58		2cn 9358	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		mulcom 8302	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	57, 58, 59	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
61	22	nncnd 9301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
62	61	mullidd 8338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
63	56, 60, 62	3brtr4d 4160	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
64		2rp 10042	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
65	64	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ ℝ+)
66		1red 8335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
67	22	nnrpd 10078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
68	18, 65, 66, 67	lt2mul2divd 10149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
69	63, 68	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
70		ltle 8407	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	23, 3, 70	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
72	69, 71	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
73	23, 24, 27, 35, 72	lemul2ad 9264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
74		peano2nn0 9586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	20, 74	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
76	12	eftvalcn 12407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	11, 75, 76	syl2an2r 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
78	77	fveq2d 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
79	17, 75	absexpd 11941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	57, 20	expp1d 11095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	75	faccld 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 9300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 9606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 11916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	20, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 6097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91	17, 75	expcld 11094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	82	nncnd 9301	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nnap0d 9333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘(𝑘 + 1)) # 0)
94	91, 92, 93	absdivapd 11944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
95	25	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
96	26	nncnd 9301	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
97	26	nnap0d 9333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (!‘𝑘) # 0)
98	22	nnap0d 9333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑘 + 1) # 0)
99	95, 96, 57, 61, 97, 98	divmuldivapd 9156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
100	90, 94, 99	3eqtr4d 2281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
101	78, 100	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102		halfcn 9502	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
103	11, 20, 15	syl2an2r 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
104	103	abscld 11930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 8348	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
106		mulcom 8302	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
107	102, 105, 106	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	11, 20, 13	syl2an2r 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
109	108	fveq2d 5697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
110		eftabs 12406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
111	11, 20, 110	syl2an2r 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	109, 111	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	112	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
114	107, 113	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	73, 101, 114	3brtr4d 4160	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
116	1, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 115	cvgratgt0 12283	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  dom cdm 4772  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤ_≥cuz 9904  ℝ⁺crp 10037  seqcseq 10867  ↑cexp 10958  !cfa 11146  abscabs 11746   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-ico 10279  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103

This theorem is referenced by:  efcllem  12409