Theorem prmfac1 11830

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2	1	breq2d 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3		breq2 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 0))
4	2, 3	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
5	4	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
7	6	breq2d 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8		breq2 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑘))
9	7, 8	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)))
10	9	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘))))
11		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
12	11	breq2d 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13		breq2 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
14	12, 13	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16		fveq2 5421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
17	16	breq2d 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18		breq2 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
19	17, 18	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
20	19	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))))
21		fac0 10474	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
22	21	breq2i 3937	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23		nprmdvds1 11820	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
24	23	pm2.21d 608	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
25	22, 24	syl5bi 151	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26		facp1 10476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
27	26	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
28	27	breq2d 3941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30		faccl 10481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33		nn0p1nn 9016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36		euclemma 11824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
38	28, 37	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	lep1d 8689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42		prmz 11792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	42	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
44	43	zred 9173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
45	34	nnred 8733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46		letr 7847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
48	41, 47	mpan2d 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ≤ 𝑘 → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51		dvdsle 11542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
52	43, 34, 51	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
54	50, 53	jaod 706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
55	38, 54	sylbid 149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
56	55	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
57	56	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9165	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
60	59	3imp 1175	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   ≤ cle 7801  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  !cfa 10471   ∥ cdvds 11493  ℙcprime 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636  df-prm 11789

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  11834