Theorem prmfac1 12957

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2	1	breq2d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3		breq2 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 0))
4	2, 3	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
5	4	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
7	6	breq2d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8		breq2 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑘))
9	7, 8	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)))
10	9	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘))))
11		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
12	11	breq2d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13		breq2 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
14	12, 13	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
17	16	breq2d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18		breq2 4135	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
20	19	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))))
21		fac0 11189	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
22	21	breq2i 4139	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23		nprmdvds1 12945	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
24	23	pm2.21d 628	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
25	22, 24	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26		facp1 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
28	27	breq2d 4143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30		faccl 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 9779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33		nn0p1nn 9614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 9779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36		euclemma 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
38	28, 37	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39		nn0re 9584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	lep1d 9270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42		prmz 12915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
44	43	zred 9780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
45	34	nnred 9327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46		letr 8415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
48	41, 47	mpan2d 432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ≤ 𝑘 → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
49	48	imim2d 54	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
50	49	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51		dvdsle 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
52	43, 34, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
53	52	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
54	50, 53	jaod 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
55	38, 54	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
56	55	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
57	56	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 9772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
60	59	3imp 1224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   ≤ cle 8368  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  !cfa 11186   ∥ cdvds 12580  ℙcprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-gcd 12757  df-prm 12912

This theorem is used by:  prmndvdsfaclt  12961  chtublem  16307  bposlem3  16325