Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmfac1 GIF version

Theorem prmfac1 11841
 Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
21breq2d 3941 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3 breq2 3933 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃𝑥𝑃 ≤ 0))
42, 3imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
76breq2d 3941 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8 breq2 3933 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥𝑃𝑘))
97, 8imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘))))
11 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
1211breq2d 3941 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13 breq2 3933 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
1412, 13imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1716breq2d 3941 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18 breq2 3933 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃𝑥𝑃𝑁))
1917, 18imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
2019imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁))))
21 fac0 10486 . . . . 5 (!‘0) = 1
2221breq2i 3937 . . . 4 (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23 nprmdvds1 11831 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
2423pm2.21d 608 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
2522, 24syl5bi 151 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26 facp1 10488 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2726adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2827breq2d 3941 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30 faccl 10493 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3130adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3231nnzd 9184 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33 nn0p1nn 9028 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3433adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3534nnzd 9184 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36 euclemma 11835 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1216 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3828, 37bitrd 187 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39 nn0re 8998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4140lep1d 8701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42 prmz 11803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4342adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
4443zred 9185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
4534nnred 8745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46 letr 7859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1216 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4841, 47mpan2d 424 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑘𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4948imim2d 54 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5049com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51 dvdsle 11553 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5352a1dd 48 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5450, 53jaod 706 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5538, 54sylbid 149 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5655com23 78 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5756ex 114 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
5857a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 9177 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
60593imp 1175 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   · cmul 7637   ≤ cle 7813  ℕcn 8732  ℕ0cn0 8989  ℤcz 9066  !cfa 10483   ∥ cdvds 11504  ℙcprime 11799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-gcd 11647  df-prm 11800 This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  11845
 Copyright terms: Public domain W3C validator