ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faccl GIF version

Theorem faccl 10495
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5421 . . 3 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
21eleq1d 2208 . 2 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3 fveq2 5421 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
43eleq1d 2208 . 2 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5 fveq2 5421 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
65eleq1d 2208 . 2 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7 fveq2 5421 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
87eleq1d 2208 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9 fac0 10488 . . 3 (!‘0) = 1
10 1nn 8745 . . 3 1 ∈ ℕ
119, 10eqeltri 2212 . 2 (!‘0) ∈ ℕ
12 facp1 10490 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
1312adantl 275 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14 nn0p1nn 9030 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15 nnmulcl 8755 . . . . 5 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1614, 15sylan2 284 . . . 4 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1713, 16eqeltrd 2216 . . 3 (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
1817expcom 115 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 9179 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7634  1c1 7635   + caddc 7637   · cmul 7639  cn 8734  0cn0 8991  !cfa 10485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-seqfrec 10233  df-fac 10486
This theorem is referenced by:  faccld  10496  facne0  10497  facdiv  10498  facndiv  10499  facwordi  10500  faclbnd  10501  faclbnd2  10502  faclbnd3  10503  faclbnd6  10504  facubnd  10505  facavg  10506  bcrpcl  10513  bcn0  10515  bcm1k  10520  permnn  10531  4bc2eq6  10534  eftcl  11374  reeftcl  11375  eftabs  11376  ef0lem  11380  ege2le3  11391  efcj  11393  efaddlem  11394  effsumlt  11412  eflegeo  11421  ef01bndlem  11476  eirraplem  11496  dvdsfac  11571  prmfac1  11843
  Copyright terms: Public domain W3C validator