Theorem faccl 11194

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5698	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
2	1	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 5698	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
4	3	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5		fveq2 5698	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
6	5	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 5698	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
8	7	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9		fac0 11187	. . 3 ⊢ (!‘0) = 1
10		1nn 9324	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltri 2311	. 2 ⊢ (!‘0) ∈ ℕ
12		facp1 11189	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14		nn0p1nn 9613	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15		nnmulcl 9334	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
16	14, 15	sylan2 286	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
17	13, 16	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
18	17	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 9770	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  !cfa 11184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-seqfrec 10905  df-fac 11185

This theorem is used by:  faccld  11195  facne0  11196  facdiv  11197  facndiv  11198  facwordi  11199  faclbnd  11200  faclbnd2  11201  faclbnd3  11202  faclbnd6  11203  facubnd  11204  facavg  11205  bcrpcl  11212  bcn0  11214  bcm1k  11219  permnn  11231  4bc2eq6  11234  eftcl  12445  reeftcl  12446  eftabs  12447  ef0lem  12451  ege2le3  12462  efcj  12464  efaddlem  12465  effsumlt  12483  eflegeo  12492  ef01bndlem  12547  eirraplem  12568  dvdsfac  12651  prmfac1  12955  pcfac  13157  prmunb  13169  bcmono  16321