Theorem nn2m 6688

Description: Multiply an element of ω by 2_o. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn2m	⊢ (𝐴 ∈ ω → (2o ·o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))

Proof of Theorem nn2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6682	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnmcom 6650	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (2o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))
3	1, 2	mpan 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2o ·o 𝐴) = (𝐴 ·o 2o))
4		nnm2 6687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 2o) = (𝐴 +o 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2o ·o 𝐴) = (𝐴 +o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ωcom 4684  (class class class)co 6011  2_oc2o 6569   +_o coa 6572   ·_o comu 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-1o 6575  df-2o 6576  df-oadd 6579  df-omul 6580

This theorem is referenced by:  nq02m  7673