Theorem nn2m 6275

Description: Multiply an element of ω by 2_𝑜 (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn2m	⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Proof of Theorem nn2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6270	. . 3 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
2		nnmcom 6242	. . 3 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 ·𝑜 2𝑜))
3	1, 2	mpan 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 ·𝑜 2𝑜))
4		nnm2 6274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2120	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ωcom 4403  (class class class)co 5644  2_𝑜c2o 6167   +_𝑜 coa 6170   ·_𝑜 comu 6171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178

This theorem is referenced by:  nq02m  7014